Cuando el conjunto S tiene alguna estructura (como una operación de grupo o una topología) y la relación de equivalencia ~ es compatible con esta estructura, el conjunto cociente a menudo hereda una estructura similar a la de su conjunto origen.Una relación de equivalencia en un conjunto X es una relación binaria ~ en X, que satisface las tres propiedades siguientes:[2] La clase de equivalencia de un elemento a se denota [a] o [a]~, y se define como el conjuntoCuando se elige un elemento (a menudo implícitamente) en cada clase de equivalencia, esto define una aplicación inyectiva llamada sección.Por ejemplo, en aritmética modular, considérese la relación de equivalencia en los enteros definidos por a ~ b si (a − b) es un múltiplo de un entero positivo dado n, llamado módulo.Cada clase contiene un número entero no negativo único menor que n, y estos números enteros son los representantes canónicos.La clase y su representante están más o menos identificados, como lo demuestra el hecho de que la notación a mod n puede denotar la clase o su representante canónico (que es el resto de la división de a por n).Cada dos clases de equivalencia [x] e [y] son iguales o disjuntas.Esto ocurre, por ejemplo, en la teoría del carácter de los grupos finitos.Algunos autores usan "compatible con ~" o simplemente "respeta ~" en lugar de "invariante bajo ~".
La congruencia
es un ejemplo de una relación de equivalencia. Los dos triángulos más a la izquierda son congruentes, mientras que los triángulos tercero y cuarto no son congruentes con ningún otro triángulo que se muestra aquí. Por lo tanto, los primeros dos triángulos están en la misma clase de equivalencia, mientras que el tercer y cuarto triángulos están en su propia clase de equivalencia
Gráfico de un ejemplo de equivalencia con 7 clases
