Espacio cociente (álgebra lineal)

En álgebra lineal, el espacio vectorial cociente E/F de un espacio vectorial E por un subespacio vectorial F, es la estructura natural de espacio vectorial sobre el conjunto cociente de E por la siguiente relación de equivalencia: v está relacionado con w si y solo si v-w pertenece a F. Sea E un espacio vectorial sobre un cuerpo K, y sea F un subespacio vectorial de E, podemos definir la siguiente relación de equivalencia entre los elementos de E: Dados

u , v ∈

{\displaystyle u,v\in E}

diremos que están relacionados módulo

u − v ∈

equivale a

y abusando del lenguaje

u = v +

Llamaremos espacio cociente al conjunto de todos los elementos que cumplen las clases de equivalencia anterior: El espacio

es un espacio vectorial con las operaciones siguientes: Observaciones Dado

un espacio vectorial y

un subespacio, si la dimensión de E es finita entonces: Tomando clases,

i = m + 1

(ya que

Luego, se tiene que

Para ver que son linealmente independientes, supóngase que: entonces,

pertenece a

, en consecuencia, existen

tales que

Por la independencia lineal de

, se sigue que

son una base de

d i m

= n − m = d i m

− d i m

un subespacio vectorial de

generado por un vector

, si se considera el espacio cociente

la clase de un vector