En la literatura "antigua" se exige (a veces se sobreentiende) que el anillo es conmutativo y unitario, porque se ignoraba la existencia de anillos no conmutativos que no tuvieran divisores de cero (por la izquierda o por la derecha).
Respecto a dominios íntegros no unitarios, el conjunto
es un subanillo no unitario del dominio de integridad
En este artículo, un dominio íntegro será siempre un anillo conmutativo y unitario (ya que así se entiende en la mayor parte de la literatura, señalándose los casos en que no se adopta estos criterios).
Todo cuerpo es dominio de integridad conmutativo y unitario.
De forma más precisa: Sea
un dominio íntegro (conmutativo y unitario).
{\displaystyle (a,b){\mathcal {R}}(c,d)}
a la clase de equivalencia del par ordenado
de la siguiente manera: cualesquiera que sean
{\displaystyle \textstyle {\frac {a}{b}},{\frac {c}{d}}\in Q(R)}
de la siguiente manera: cualesquiera que sean
{\displaystyle \textstyle {\frac {a}{b}},{\frac {c}{d}}\in Q(R)\setminus \{0\}}
Se demuestra sin dificultad que
Quizás el aspecto más interesante que ofrecen los dominios íntegros es el de poder generalizar a ellos muchas de las propiedades sobre divisibilidad que conocemos en el anillo de los números enteros
a , b , c , d , r , x , y , m , u
{\displaystyle a,b,c,d,r,x,y,m,u}
a , b , c , d , r , x , y , m , u ∈
el conjunto formado por todos los divisores de la identidad, 1, llamados unidades del anillo.
es un átomo o elemento irreducible (a veces se dice simplemente que es un irreducible) de
Lo cierto es que la notación es un poco confusa cuando nos referimos a los números enteros.
En ese caso, el concepto de número primo corresponde con el de elemento irreducible, y tendríamos que el 0 y el 1 serían elementos primos de
, aunque no serían números primos.
es elemento primo del dominio íntegro
Esto se debe a que, tal y como están definidos, un mismo par de elementos
pueden tener más de un máximo común divisor y más de un mínimo común múltiplo.
Por otra parte, en un dominio de integridad no siempre está asegurada la existencia del mínimo común múltiplo o del máximo común denominador de dos elementos cualesquiera.
{\displaystyle \mathrm {mcd} (a,b)\in U(R)}
Estas son las principales afirmaciones que podemos decir sobre divisibilidad en dominios de integridad sin exigir más condiciones, como que el anillo R sea dominio de factorización única, dominio de ideales principales o que sea dominio euclídeo.
Todo dominio de integridad finito es un cuerpo[5] Si p es un primo, entonces el dominio de integridad Z(p)= {0, 1, 2,..., p-1} es un cuerpo[5] Birkhoff- Mc Lane.