Elemento algebraico

En matemáticas, más concretamente en álgebra abstracta y teoría de cuerpos, se dice que un elemento es algebraico sobre un cuerpo si es raíz de algún polinomio con coeficientes en dicho cuerpo.Los elementos algebraicos sobre el cuerpo de los números racionales reciben el nombre de números algebraicos.tiene raíces: es decir, si existe algún elementotal que al evaluar el polinomio en él, este se anula (Aun en el caso de que no sea así, siempre es posible encontrar un cuerpo mayor —una extensión de cuerpos— que contenga las soluciones de dicho polinomio.Se dice entonces que esos elementos son algebraicos sobreEn general, puede ocurrir que una extensión de cuerpos contenga elementos que no son raíz de ningún polinomio con coeficientes en el cuerpo menor: a estos se les llama elementos trascendentes.de un cuerpo es algebraico sobre dicho cuerpo, ya que es raíz del polinomio, se dice que un elemento, que pertenece al anillo de polinomios con coeficientes enEn caso contrario se dice que, entonces realizamos la siguiente construcción: Ahora solo pueden darse dos situaciones: Como(esto es, el ideal generado porPor el Primer Teorema de Isomorfía,es el monomorfismo inclusión canónica (i.e.,cualquiera que sea eles el homomorfismo sobreyectivo aplicación proyección canónica (a cadaes un isomorfismo de anillos unitarios.es sobreyectiva (ya que es isomorfismo),, quien a su vez es un cuerpo, luegoes dominio íntegro por carecer de divisores de cero no nulos, con lo que también(por ser dominio de ideales principales).{\displaystyle \textstyle \operatorname {im} \beta \cong {\frac {K[x]}{(p)}}}{\displaystyle \textstyle \alpha \in \operatorname {im} \beta \cong {\frac {K[x]}{(p)}}}llegamos a la conclusión de quees un elemento algebraico sobre el cuerpoque genera al núcleo de la aplicación evaluación (i.e.,por su coeficiente principal (aquel escalar que multiplica a la mayor potencia de la variable) se obtiene un polinomio mónico (es decir, de manera que su coeficiente principal es la unidad), que se denota pory se denomina polinomio mónico irreducible de