Esta distinción resulta del alto número de propiedades fundamentales de los anillos conmutativos que no se extienden a los anillos no conmutativos.Para formar un anillo, estas dos operaciones tienen que satisfacer una serie de propiedades: el anillo tiene que ser un grupo abeliano bajo adición, así como un monoide bajo multiplicación, donde la multiplicación distribuye sobre la adición; es decir,Los elementos de identidad para la suma y la multiplicación se denotanEn el resto de este artículo, todos los anillos serán conmutativos, a menos que se indique explícitamente lo contrario.se llama una unidad si posee un inverso multiplicativo.tal que existe un elemento distinto de cerono posee divisores cero distintos de cero, se denomina dominio de integridad (o dominio).La localización de un anillo es un proceso en el que algunos elementos se hacen invertibles, es decir, se añaden al anillo inversos multiplicativos.consiste en los símbolos sujeto a ciertas reglas que imitan la cancelación familiar de los números racionales.Esta construcción funciona para cualquier dominio integralMuchas de las nociones siguientes también existen para anillos no necesariamente conmutativos, pero las definiciones y propiedades suelen ser más complicadas.sujetos a los mismos axiomas que para un espacio vectorial.El estudio de los módulos es bastante más complicado que el de los espacios vectorialess, ya que hay módulos que no tienen ninguna base, es decir, no contienen un sistema generador cuyos elementos sean linealmente independientess.Para diversas aplicaciones, comprender los ideales de un anillo es de particular importancia, pero a menudo se procede estudiando los módulos en general.es el ideal más pequeño que contiene aEquivalentemente, viene dado por combinación lineals finitasse llama anillo ideal principal; dos casos importantes sonA diferencia de los anillos generales, para un dominio ideal principal, las propiedades de los elementos individuales están fuertemente ligadas a las propiedades del anillo en su conjunto.Aquí, un elemento a en un dominio se llama irreducible si la única forma de expresarlo como un productoes un UFD puede enunciarse más elementalmente diciendo que cualquier número natural puede descomponerse unívocamente como producto de potencias de números primos.También se conoce como teorema fundamental de la aritmética.Lo contrario es cierto en un dominio de factorización única, pero falso en general.La definición de ideales es tal que "dividiendo"Un ideal es propio si es estrictamente menor que el anillo entero.Excepto el anillo trivial, cualquier anillo (con identidad) posee al menos un ideal maximal; esto se deduce del lema de Zorn.Esto no es cierto para anillos más generales, como se dieron cuenta los algebristas en el siglo XIX.hay dos formas realmente distintas de escribir 6 como producto:al menos uno de los dos elementos ya está eny más generalmente el anillo de enteros en un campo numérico) cualquier ideal (como el generado por 6) se descompone unívocamente como un producto de ideales primos.Otra forma de expresar lo mismo es decir que el complemento
Estructura algebraica con dos leyes de composición internas.
