Dominio de Dedekind
Se puede demostrar que tal factorización es entonces necesariamente única hasta el orden de los factores.
Hay al menos otras tres caracterizaciones de los dominios de Dedekind que a veces se toman como definición (véase más abajo).
Un cuerpo es un anillo conmutativo en el que no hay ideales propios no triviales, por lo que cualquier cuerpo es un dominio de Dedekind, aunque de una manera bastante vacua.
En el intento de determinar qué números enteros están representados por la forma cuadrática
, teniendo lugar la factorización en el anillo de los números enteros del cuerpo cuadrático
para los cuales el anillo de enteros es un DIP y conjeturó que no había más valores (la conjetura de Gauss fue probada más de cien años después por Kurt Heegner, Alan Baker y Harold Stark).
En 1847 Gabriel Lamé anunció una solución del último teorema de Fermat para todos los
Ernst Kummer había demostrado tres años antes que este no era el caso para
(ahora se conoce la lista completa y finita de valores para los que
Al mismo tiempo, Kummer desarrolló métodos nuevos y potentes para demostrar el último teorema de Fermat al menos para una gran clase de exponentes primos
De hecho, aunque Gauss también conjeturó que hay infinitos números primos
es un DIP, en 2016 todavía no se sabía si hay infinitos cuerpos numéricos
Cuál de estas condiciones se toma como definición es, por lo tanto, meramente una cuestión arbitraria, aunque en la práctica, suele ser más fácil de verificar (DD4).
De manera similar, un dominio integral es un dominio de Dedekind si y solo si todo módulo divisible sobre él es inyectivo.
Esto queda en gran parte claro simplemente al traducir términos geométricos al álgebra: el anillo de coordenadas de cualquier variedad afín es, por definición, un álgebra k generada finitamente, por lo tanto, noetheriana; además, curva significa dimensión uno y no singular implica (y, en dimensión uno, es equivalente a) normal, que por definición significa integralmente cerrado.
Tomando R= k[t], se obtiene el caso anterior de curvas afines no singulares como cubrimientos ramificados de la recta afín.
Dado que la raíz cuadrada de un entero algebraico es nuevamente un entero algebraico, no es posible factorizar ningún entero algebraico no unitario distinto de cero en un producto finito de elementos irreducibles, lo que implica que
Dados dos ideales fraccionarios I y J, se define su producto IJ como el conjunto de todas las sumas finitas
El conjunto Frac(R) de todos los ideales fraccionarios dotados del producto anterior es un semigrupo conmutativo y de hecho un monoide: el elemento de identidad es el ideal fraccionario R. Para cualquier ideal fraccionario I, se puede definir el ideal fraccionario Entonces, tautológicamente se tiene que
Ahora, se denota el subgrupo de los ideales fraccionarios principales por Prin(R).
Sin embargo, este cociente en sí mismo es generalmente solo un monoide.
De hecho, es fácil ver que la clase de un ideal fraccionario I en Frac(R)/Prin(R) es invertible si y solo si I mismo es invertible.
Se observa que para un dominio arbitrario se puede definir el grupo de Picard Pic(R) como el grupo de ideales fraccionarios invertibles Inv(R) módulo el subgrupo de ideales fraccionarios principales.
En vista del bien conocido y extremadamente útil teorema de estructura para módulos finitamente generados sobre un dominio ideal principal (DIP), es natural pedir una teoría correspondiente para los módulos generados finitamente sobre un dominio de Dedekind.
para un número entero no negativo determinado de forma única
En otras palabras, la no trivialidad del grupo de clase Cl(R) hace que (M3DIP) falle.
Sorprendentemente, la estructura adicional en módulos generados finitamente sin torsión sobre un dominio de Dedekind arbitrario está controlada con precisión por el grupo de clase, como se explica ahora.
, se tiene que si y solo si y Los módulos proyectivos de rango uno se pueden identificar con ideales fraccionarios, y la última condición se puede reformular como Por lo tanto, un módulo libre de torsión generado finitamente de rango
Como se mencionó anteriormente, dicho anillo no puede ser noetheriano.
Parece que los primeros ejemplos de tales anillos fueron construidos por N. Nakano en 1953.
