Es una disciplina relativamente joven, cuyos orígenes pueden remontarse a investigaciones en topología combinatoria (un precursor de la topología algebraica) y en álgebra abstracta (teoría de módulos y sizigia) de fines del siglo XIX, lideradas por Henri Poincaré y David Hilbert.
Más tarde, Alexander Grothendieck realizó un aporte relevante que generaliza el planteamiento de Cartan y Eilenberg aplicándolo a las categorías abelianas.
La noción de cadena compleja es central en el álgebra homológica.
Los grupos en cadena Cn pueden estar dotados de estructura adicional; por ejemplo, pueden ser espacio vectorials o módulos sobre un anillo R fijo.
Los diferenciales deben preservar la estructura extra si existe; por ejemplo, deben ser mapa lineals u homomorfismos de módulos R. Por conveniencia notacional, restrinja la atención a los grupos abelianos (más correctamente, a la categoría Ab de los grupos abelianos); un célebre teorema de incrustación de Mitchell implica que los resultados se generalizarán a cualquier categoría abeliana.
Cada cadena compleja define otras dos sucesións de grupos abelianos, los ciclos Zn = Ker d n y los límites Bn = Im d' 'n+1, donde Ker d e Im d denotan el kernel y la imagen de d. Dado que la composición de dos mapas de límites consecutivos es cero, estos grupos están incrustados entre sí como
Por ejemplo, si X es un espacio topológico entonces la cadena singular es Cn(X) son combinaciones linealess formales de mapa continuos del estándar n-simplex a X; si K es un complejo simplicial entonces la cadena simplicial es Cn(K ) son combinaciones lineales formales de los n-simples de K; si A = F/R es una presentación de un grupo abeliano A por generadores y relaciones, donde F es un grupo abeliano libre generado por los generadores y R es el subgrupo de relaciones, entonces dejando que C1(A ) = R, C0(A) = F, y Cn(A) = 0 para todos los demás n define una sucesión de grupos abelianos.
En todos estos casos, existen diferenciales naturales dn que hacen de Cn una cadena compleja, cuya la homología refleja la estructura del espacio topológico X, el complejo simplicial K o el grupo abeliano A.
A nivel filosófico, el álgebra homológica nos enseña que ciertos complejos en cadena asociados con objetos algebraicos o geométricos (espacios topológicos, complejos simpliciales, módulos R) contienen mucha información algebraica valiosa sobre ellos, siendo la homología solo la parte más fácilmente disponible.
A nivel técnico, el álgebra homológica proporciona las herramientas para manipular complejos y extraer esta información.
Se puede realizar una definición similar para algunas otros tipo de estructuras algebraicas.
Esta es una sucesión exacta del tipo donde ƒ es un monomorfismo y g es un epimorfismo.
En este caso, A es un subobjeto de B, y el cociente correspondiente es isomórfico con C: (where f(A) = im(f)).
Una sucesión exacta corta de grupos abelianos puede ser escrita como una sucesión exacta con cinco términos: donde 0 representa el objeto nulo, como por ejemplo el grupo trivial o un espacio vectorial de dimensión cero.
El lema de los cinco establece que, si las filas son exactas, m y p son isomorfismos, l es un epimorfismo, y q es un monomorfismo, entonce n también es un isomorfismo.
donde las filas son sucesiones exactas y 0 es el objeto nulo.
Estas propiedades de estabilidad las hacen inevitables en álgebra homológica y más allá; la teoría tiene aplicaciones importantes en geometría algebraica, cohomología y teoría de categorías pura.
Las categorías abelianas llevan el nombre de Niels Henrik Abel.
En formas más concreta, una categoría es abeliana si Sea R un anillo y sea ModR la categoría de módulos en R. Sea B un ModR y si se define T(B) = HomR(A,B), para un A en ModR.
El functor Ext se define como Lo cual puede ser calculado tomando cualquier resolución injectiva y calculando Entonces (RnT)(B) es la homología de este complejo.
MNotar que HomR(A,B) es excluido del complejo.
Para un módulo fijo B, este es un contravariante functor exacto izquierda, y por lo tanto se tienen functores derivados por derecha RnG, y se puede definir Este se puede calcular eligiendo cualquier resolución proyectiva y procedu Nuevamente observar que HomR(A,B) es excluido. Estas dos construcciónes proveen resultados isomórficos, por lo que ambas pueden ser utilizadas para calcular el functor Ext. Dado que es muy común estudiar varios espacios topológicos simultáneamente, en el álgebra homológica uno se ve abocado a la consideración simultánea de múltiples complejos en cadena. para todo n. Un morfismo F se llama un cuasi-isomorfismo si induce un isomorfismo en la homología n para todo n. Muchas construcciones de complejos en cadena que surgen en álgebra y geometría, incluyendo la homología singular, tienen la siguiente propiedad de functoridad: si dos objetos X e Y están conectados por un mapa f, entonces los complejos en cadena asociados están conectados por un morfismo son también functoriales, de modo que los morfismos entre objetos algebraicos o topológicos dan lugar a mapas compatibles entre su homología. La siguiente definición surge de una situación típica en álgebra y topología. se llama un triple exacto, o una secuencia exacta corta de complejos, y se escribe como si para cualquier n, la secuencia