Diagrama conmutativo
En matemática, y especialmente en teoría de categorías, un diagrama conmutativo es un diagrama de objetos (también conocidos como vértices), morfismos (también conocidos como flechas o aristas) y rutas o caminos, tales que todas las rutas directas en el diagrama con los mismos puntos finales y mismo comienzo conducen al mismo resultado por composición.
[1] Los diagramas conmutativos desempeñan un papel fundamental en teoría de categorías al igual que las ecuaciones lo hacen en álgebra.
Los diagramas conmutativos son representaciones gráficas que muestran las relaciones entre diferentes objetos matemáticos, como grupos, anillos o espacios topológicos, y las funciones o morfismos que los vinculan, asegurando que ciertas composiciones de funciones sean iguales.
Esta idea surgió gradualmente a medida que las matemáticas comenzaron a formalizar sus estructuras abstractas y buscar representaciones visuales que facilitaran la comprensión de las propiedades y relaciones complejas.
Sin embargo, el término "diagrama conmutativo" como tal no se acuñó hasta mediados del siglo XX, cuando la teoría de categorías se consolidó como una disciplina formal.
La teoría de categorías fue desarrollada por matemáticos como Samuel Eilenberg y Saunders Mac Lane, quienes formalizaron el concepto de categoría en su obra "General Theory of Natural Equivalences" (1945).
En este marco, los diagramas conmutativos fueron introducidos como herramientas visuales para describir las propiedades de los morfismos y las estructuras matemáticas de una manera más accesible.
Con el tiempo, estos diagramas se han vuelto una herramienta central en el trabajo matemático, facilitando tanto la demostración de teoremas como la visualización de conceptos abstractos.
A continuación se muestra un cuadrado conmutativo genérico, en el cual
objeto correspondiente en el diagrama) segundo diagrama tal que todas las mallas resultantes sean conmutativas), entonces los dos mapas construidos también conmutarán con estos homomorfismos.
En la teoría de categorías superiores, el concepto de estructuras categóricas superiores, como (∞-categorías), permite un tratamiento más robusto de la teoría de homotopía, permitiendo captar distinciones homotópicas más finas, como diferenciar dos espacios topológicos que tienen el mismo grupo fundamental, pero difieren en sus grupos homotópicos superiores.
En este entorno, los diagramas conmutativos pueden incluir estas flechas superiores también, que a menudo se representan en el siguiente estilo:
Por ejemplo, el siguiente diagrama (algo trivial) representa dos categorías C y D, junto con dos functores F, G : C → D y una transformación natural α : F ⇒ G: Hay dos tipos de composición en una categoría 2 (llamadas composición vertical y composición horizontal), y también pueden representarse mediante diagramas de pegado.
Un diagrama conmutativo en una categoría C puede ser interpretado como un funtor o functor de una categoría indexada J en C; se llama a ese functor diagrama.
), como el usado en la definición de ecualizador es necesario que no conmute.
