Homología (matemática)
En matemática (especialmente en topología algebraica y en álgebra homológica), la homología (en Griego homos = idéntico) es un procedimiento general para asociar un objeto matemático dado (por ejemplo un espacio topológico o un grupo) con una sucesión de grupos abelianos (o en contextos más generales módulos o cualquier elemento sobre una categoría abeliana), es decir una acción functorial.
Así mismo, cada generador indica la existencia de un agujero y las propiedades del grupo indican la estructura del espacio topológico, así como lo hacen las nociones de dimensión y orientabilidad.
Dependiendo del objeto matemático que estemos estudiando - por ejemplo, un espacio topológico o un grupo-, podremos asociarle algunas de estas teorías.
Por ejemplo, una línea trazada sobre una superficie representa un 1-ciclo, un bucle cerrado o
(1-variedad), mientras que una superficie cortada a través de una variedad tridimensional es un 2-ciclo.
Por tanto, todos los ciclos de la esfera pueden transformarse continuamente unos en otros y pertenecen a la misma clase homológica.
Esto no suele ocurrir con los ciclos de otras superficies.
Si la superficie del toro se corta a lo largo de a y b, puede abrirse y aplanarse en un rectángulo o, más convenientemente, en un cuadrado.
A continuación, los bordes del cuadrado se pueden pegar de diferentes maneras.
Es un teorema que la superficie re-encolada debe auto-intersecarse (cuando se sumerge en el espacio euclidiano tridimensional).
La forma sin cortar, generalmente representada como la superficie de Boy, es visualmente compleja, por lo que en el diagrama se muestra una incrustación semiesférica, en la que puntos antípodas alrededor del borde como A y A′ se identifican como el mismo punto.
De nuevo, a y b no son encogibles, mientras que c sí lo es.
Esto se debe a que la botella de Klein está hecha de un cilindro, cuyos extremos del ciclo a están pegados con orientaciones opuestas.
El cuadrado no es la única forma del plano que puede pegarse en una superficie.
Pegando lados opuestos de un octógono, por ejemplo, se obtiene una superficie con dos agujeros.
A la inversa, una superficie cerrada con n clases distintas de cero puede cortarse en un 2n-gono.
También son posibles variaciones, por ejemplo, un hexágono también puede pegarse para formar un toroide.
[4] La primera teoría reconocible de la homología fue publicada por Henri Poincaré en su trabajo seminal "Analysis situs", J. Ecole polytech.
[cita requerida] Puede crearse cortando un ciclo trivial en cualquier 2-manifold y manteniendo el trozo eliminado, perforando la esfera y estirando la punción a lo ancho, o cortando el plano proyectivo.
En este caso, se dice que la figura 8 es homóloga a la suma de sus lóbulos.
En una búsqueda de mayor rigor, Poincaré pasó a desarrollar la homología simplicial de una variedad triangulada y a crear lo que ahora se denomina un complejo en cadena.
Un ciclo 1 corresponde a un conjunto de bucles cerrados (una imagen del manifold 1
En una superficie, el corte a lo largo de un 1-ciclo produce piezas desconectadas o una forma más simple.
Un 2-ciclo corresponde a una colección de superficies incrustadas, como una esfera o un toroide, y así sucesivamente.
[11] La homología algebraica sigue siendo el método principal para clasificar las variedades.
Por ejemplo si tenemos un complejo de cadenas corto entonces sus correspondientes grup(os de homología son: Es obvio que si la sucesión fuese exacta, entonces estos grupos serían triviales (=0).
Existe una estrecha relación entre el primer grupo de homotopía
es el grupo de bucles dirigidos que empiezan y terminan en un punto predeterminado (por ejemplo, su centro).
Es equivalente al grupo libre de rango 2, que no es conmutativo: hacer un bucle alrededor del ciclo más a la izquierda y luego alrededor del ciclo más a la derecha es diferente que hacer un bucle alrededor del ciclo más a la derecha y luego hacer un bucle alrededor del ciclo más a la izquierda.
Este grupo es conmutativo, ya que (informalmente) cortar el ciclo más a la izquierda y luego el ciclo más a la derecha conduce al mismo resultado que cortar el ciclo más a la derecha y luego el ciclo más a la izquierda.
