La crítica de su trabajo por Poul Heegaard lo condujo a captar que su prueba estaba seriamente incompleta.
En los primeros dos complementos al Análisis Situs, Poincaré dio una nueva prueba en términos de triangulaciones duales.
La dualidad de Poincaré no adquirió su forma moderna hasta el advenimiento de la cohomología en los años 30, cuando Eduard Cech y Hassler Whitney inventaron los productos cup & cap (capa y copa) y formularon la dualidad de Poincaré en estos nuevos términos.
(aquí, la homología y la cohomología se toman con coeficientes en el anillo de los números enteros, pero el isomorfismo se sostiene para cualquier anillo de coeficientes.)
es una función continua entre dos n- variedades orientadas que sea compatible con la orientación, es decir que mapea la clase fundamental de M a la clase fundamental de N, entonces