En álgebra abstracta un conjuntoconsistente en estructuras algebraicas(ya sea grupos abelianos o anillos o módulos o espacios vectoriales) ymorfismos (según sea la categoría), se llama complejo de cadenas si la construcción satisfaceEsta última condición implica{\displaystyle \operatorname {im} \delta _{n+1}\subseteq \ker \delta _{n}\,}para todaEste concepto es clave para entender lo que es la homología.se utiliza para designar al parA las estructuras cociente se les llama grupos de homología del complejo de cadenasEsta última construcción es muy importante en la topología algebraica, pues conforma una de sus principales herramientas.Un morfismo (de grado cero) entre dos complejosde morfismos entre las estructuras algebraicastales queindica lo mismo.Un morfismo de grado d corresponde a una familia de morfismosq − dcon la misma propiedadDesde el punto de vista de teoría de categorías tenemos la categoría de complejos de cadenas y los cadeno-morfismos.Una utilización de ésta consideración es que las principales teorías de la topología algebraica tales como la homología, cohomología y la homotopía son verdaderos functores que asignan -por ejemplo la homología- a un par topológico{\displaystyle (X,A)}una familia de grupos abelianos{\displaystyle \{H_{n}(X,A)\}}que formarán una complejo de cadenas{\displaystyle \cdots \to H_{i}(A)\to H_{i}(X)\to H_{i}(X,A)\to H_{i-1}(A)\to \cdots }y donde un mapeo continuoentre pares topológicos induce un conjunto de morfismos{\displaystyle f_{\#}\colon H_{i}(X)\to H_{i}(Y)}{\displaystyle f_{\#}\colon H_{i}(X,A)\to H_{i}(Y,B)}con las propiedades suficientes para así considerarle como un cadeno-morfismo.
