Covarianza y contravarianza

En física, especialmente en el álgebra multilineal y en el análisis tensorial, la covarianza y la contravarianza describen cómo la caracterización cuantitativa de ciertas entidades geométricas o físicas se modifica cuando se produce un cambio de base.

Para que un vector represente un objeto geométrico, debe ser posible describir cómo se ve en cualquier otro sistema de coordenadas.

Por el contrario, un covector tiene componentes que se transforman como los ejes de referencia.

El operador del producto escalar que involucra vectores es un buen ejemplo de covector.

Para ilustrarlo, supóngase que se tiene un covector definido como

los vectores de la base en el espacio vectorial correspondiente (esto se puede deducir observando que se quiere obtener la respuesta correcta para la operación del producto escalar al multiplicar por un vector arbitrario

La covarianza de estos componentes del covector se ve fácilmente al observar que si se aplicara una transformación descrita por una matriz invertible M de orden

metros, aunque todas las componentes del vector aumentan por un factor de

Se dice así que los covectores son duales con respecto a los vectores.

en V se expresa como una única combinación lineal de los elementos

La forma en que A relaciona los dos pares se representa en el siguiente diagrama informal mediante una flecha.

(3)Se denota ahora el vector fila de las componentes de α por α[f]: de modo que (3) pueda reescribirse como el producto matricial Debido a que los componentes del funcional lineal α se transforman con la matriz "A", se dice que estos componentes se "transforman covariantemente" bajo un cambio de base.

La forma en que A relaciona los dos pares se representa en el siguiente diagrama informal mediante una flecha.

Un sistema de n cantidades que se transforman en sentido opuesto a las coordenadas es entonces un vector covariante (o covector).

En un espacio vectorial V de dimensión finita sobre un cuerpo K con una forma bilineal simétrica g : V × V → K (que puede denominarse tensor métrico), hay poca distinción entre vectores covariantes y contravariantes, porque la forma bilineal permite identificar covectores con vectores.

En términos de estas bases, cualquier vector v se puede escribir de dos maneras: Las componentes vi[f] son las componentes contravariantes del vector v en la base f, y las componentes vi[f] son las componentes covariantes de v en la base f. La terminología se justifica porque bajo un cambio de base, En el plano euclídeo, el producto escalar permite identificar vectores con covectores.

Por lo tanto, un físico podría decir que la ecuación de Schrödinger no es covariante.

Por lo tanto, un físico podría decir que estas ecuaciones son covariantes.

La distinción entre covarianza y contravarianza es particularmente importante para los cálculos con tensores, que a menudo tienen varianza mixta.

La dualidad entre covarianza y contravarianza interviene siempre que una cantidad vectorial o tensorial está representada por sus componentes, aunque en la geometría diferencial moderna se utiliza métodos sin índices para representar tensores más sofisticados.

Las expresiones para longitudes, áreas y volúmenes de objetos en el espacio vectorial se pueden dar en términos de tensores con índices covariantes y contravariantes.

En un variedad, un campo tensorial normalmente tendrá múltiples índices superiores e inferiores, donde la notación de Einstein se usa ampliamente.

Cuando la variedad está equipada con una métrica, los índices covariantes y contravariantes se relacionan muy estrechamente entre sí.

Lo contrario es posible contrayendo con la inversa (matriz en su caso) del tensor métrico.

La explicación en términos geométricos es que un tensor general tendrá índices contravariantes así como índices covariantes, porque tiene partes definidas tanto según fibrados tangentes como según fibrados cotangentes.

Sin embargo, algunas construcciones del álgebra multilineal son de varianza mixta, lo que les impide ser functores.

A veces esto es fuente de confusión por dos razones distintas pero relacionadas.

Del mismo modo, los vectores cuyas componentes son contravariantes progredientes bajo aplicaciones suaves, por lo que la operación que asigna el espacio de vectores (contravariantes) a una variedad suave es un functor covariante.

En segundo lugar, en el enfoque clásico de la geometría diferencial, el objeto más primitivo no son las bases del paquete tangente, sino más bien los cambios en el sistema de coordenadas.

Asimismo, los vectores con componentes covariantes se transforman de manera opuesta a los cambios en las coordenadas.