Los campos tensoriales se utilizan en geometría diferencial, geometría algebraica, relatividad general, en el análisis de tensiones y deformaciones en materiales y en numerosas aplicaciones en ciencias físicas e ingeniería.
Como un tensor es una generalización de un escalar (un número puro que representa un valor, por ejemplo la celeridad) y un vector (un número puro más una dirección, como la velocidad), un campo tensorial es una generalización de un campo escalar o campo vectorial que asigna, respectivamente, un escalar o un vector para cada punto del espacio.
De manera equivalente, es una colección de elementos Tx ∈ Vx⊗p ⊗ (Vx*)⊗q para todos los puntos x ∈ M, organizándolos mediante una aplicación suave T : M → V⊗p ⊗ (V*)⊗q.
A menudo se toma V = TM como el fibrado tangente de M. Un campo tensorial es aquel en que cada punto del espacio lleva asociado un tensor.
se define formalmente un campo tensorial a una aplicación (sección) cuyos valores son tensores:
Decimos que T es un campo vectorial Ck si T es k veces continuamente diferenciable en Ω. Obsérvese que: Diversas magntiudes físicas vienen representadas por un campo tensorial, algunos ejemplos son: Intuitivamente, un campo vectorial se visualiza mejor como una flecha adjunta a cada punto de una región, con longitud y dirección variables.
En cambio, podría expresarse como un elipsoide de radio 1 en cada punto, que no tiene coordenadas.
sea un objeto invariante que no dependa del sistema de coordenadas elegido.
Esto tiene entonces un contenido geométrico garantizado, ya que todo se ha hecho de manera intrínseca.
Por lo tanto, el haz tangente TM = T(M) a veces puede escribirse como para enfatizar que el haz tangente es el espacio de rango de los campos tensoriales (1,0) (es decir, campos vectoriales) en la variedad M. Esto no debe confundirse con la notación de aspecto muy similar.
) para indicar el conjunto de campos tensoriales infinitamente diferenciables en M. De este modo, son las secciones del haz tensorial (m, n) en M que son infinitamente diferenciables.
Hay otra forma más abstracta (pero a menudo útil) de caracterizar campos tensoriales en una variedad M, que convierte los campos tensoriales en tensores puros (es decir, asignaciones multilineales simples), aunque de un tipo diferente (aunque esto no suele ser la razón por la que a menudo se habla de "tensores" cuando en realidad se está manejando un "campo tensorial").
Primero, se puede considerar el conjunto de todos los campos vectoriales suaves (C∞) en M,
(consúltese la sección anterior sobre notación) como un espacio único: un módulo sobre el anillo de funciones suaves, C. ∞(M), mediante multiplicación escalar.
En combinación, actúan sobre campos vectoriales suaves para producir funciones suaves mediante evaluación puntual, es decir, dado un campo covectorial ω y un campo vectorial X, se define Debido a la naturaleza puntual de los elementos involucrados, la acción de ω sobre X es una aplicación lineal C∞(M), es decir, para cualquier p en M y función suave f. Por lo tanto, se pueden considerar los campos covectoriales no solo como secciones del haz cotangente, sino también como aplicaciones lineales de campos vectoriales en funciones.
En paralelo a la construcción de tensores simples ordinarios (¡y no campos tensoriales!)
[7] Vale la pena señalar que las formas diferenciales, utilizadas para definir la integración en las variedades, son un tipo de campo tensorial.
En física teórica y otros campos, las ecuaciones diferenciales planteadas en términos de campos tensoriales proporcionan una forma muy general de expresar relaciones que son de naturaleza geométrica (garantizadas por la naturaleza tensorial) y convencionalmente vinculadas al cálculo diferencial.
Incluso para formular tales ecuaciones se requiere una noción nueva, la derivada covariante.
La noción original de cálculo diferencial absoluto,[8] que más tarde se denominó cálculo tensorial, condujo a la generación del concepto geométrico de conexión.
Una densidad tensorial es el caso especial en el que L es el conjunto de densidades en una variedad, es decir, el haz determinante del fibrado cotangente (para ser estrictamente precisos, también se debe aplicar el valor absoluto a las funciones de transformación, especialmente en variedades orientables).
Para una explicación más tradicional, consúltese el artículo densidad tensorial.
Cuando M es un espacio euclídeo y se considera que todos los campos son invariantes ante traslaciones según los vectores de M, se vuelve a una situación en la que un campo tensorial es sinónimo de un tensor 'situado en el origen'.
Esto no genera mayores problemas y se usa a menudo en aplicaciones.
[11] Da la consistencia necesaria para definir el haz tangente de forma intrínseca.
Lo que habitualmente se denomina enfoque clásico de los tensores intenta verlo al revés y, por lo tanto, es un enfoque heurístico, post hoc, más que verdaderamente fundamentado.
Un objeto que se transforma como un campo tensorial ordinario bajo transformaciones de coordenadas, excepto que también se multiplica por el determinante jacobiano de la transformación de coordenadas inversa a la w-ésima potencia, se llama densidad tensorial con peso w.[12] Invariantemente, en el lenguaje del álgebra multilineal, se puede pensar en las densidades tensoriales como aplicaciones multilineales que toman sus valores en un haz de densidad como el espacio (unidimensional) de n-formas (donde n es la dimensión del espacio), en lugar de tomar sus valores solo en R. Los pesos más altos simplemente corresponden a tomar productos tensoriales adicionales con este espacio en el rango.
En el lenguaje de los fibrados vectoriales, el haz determinante del fibrado tangente es un haz de líneas que puede usarse para torcer otros haces w veces.
Si bien a nivel local se puede utilizar la ley de transformación más general para reconocer estos tensores, surge una pregunta global que refleja que en la ley de transformación se puede escribir el determinante jacobiano o su valor absoluto.
Para obtener más información sobre el significado intrínseco, consúltese haz de densidades.