En matemáticas, un elemento de volumen proporciona un medio para integrar el valor del volumen asociado a una función,[1] cuyas características geométricas suelen determinar el sistema de coordenada más adecuado en el que definirlo (habitualmente, coordenadas cartesianas, esféricas o cilíndricas).
son las coordenadas, de modo que el volumen de cualquier conjunto
se puede calcular mediante la expresión Por ejemplo, en coordenadas esféricas
La noción de elemento de volumen no se limita a tres dimensiones: en dos dimensiones a menudo se le conoce como elemento de área, y en este contexto es útil para calcular integrales de superficie.
Este hecho permite definir elementos de volumen como una especie de medida sobre un variedad.
En una variedad diferenciable orientable, un elemento de volumen normalmente surge de una forma de volumen: una forma diferencial de grado superior.
En una variedad no orientable, el elemento de volumen suele ser el valor absoluto de una forma de volumen (definida localmente) y que establece una 1-densidad.
, la expresión del elemento de volumen se modifica según el determinante jacobiano del cambio de coordenadas: Por ejemplo, en coordenadas esféricas (convención matemática) el determinante jacobiano es de modo que Esto puede verse como un caso especial del hecho de que las formas diferenciales se transforman mediante una relación inversa
como Considérese el subespacio vectorial del espacio euclídeo 'Rn de n dimensiones que está abarcado por una colección de vectores linealmente independientes.
Para encontrar el elemento de volumen del subespacio, es útil saber a partir del álgebra lineal que el volumen del paralelepípedo abarcado por
: A cualquier punto p en el subespacio se le pueden dar coordenadas
tales que En un punto p, si se forma un pequeño paralelepípedo de lados
, entonces el volumen de ese paralelepípedo es la raíz cuadrada del determinante de la matriz grammiana Por lo tanto, esto define la forma del volumen en el subespacio lineal.
es el determinante del tensor métrico g escrito en el sistema de coordenadas.
Se puede explorar un ejemplo simple de un elemento de volumen considerando una superficie bidimensional incluida en el espacio euclídeo n-dimensional.
Este elemento de volumen a veces se denomina elemento de área.
y una función de aplicación definiendo así una superficie incluida en
En dos dimensiones, el volumen es solo área y un elemento de volumen proporciona una forma de determinar el área de partes de la superficie.
Así, un elemento de volumen es una expresión de la forma que permite calcular el área de un conjunto B que se encuentra en la superficie calculando la integral Aquí se encuentra el elemento de volumen en la superficie que define el área en el sentido habitual.
El determinante jacobiano de la aplicación es con el índice i que va de 1 a n, y j que va de 1 a 2.
en el conjunto U, con los elementos de la matriz El determinante de la métrica viene dado por Para una superficie regular, este determinante no se anula, y de manera equivalente, la matriz jacobiana tiene rango 2.
Considérese ahora un cambio de coordenadas en U, dado por un difeomorfismo de modo que las coordenadas
estén dadas en términos de
La matriz jacobiana de esta transformación viene dada por En las nuevas coordenadas, se tiene que y entonces la métrica se transforma como donde
El determinante es Dada la construcción anterior, ahora debería ser sencillo comprender cómo el elemento de volumen es invariante ante un cambio de coordenadas que preserva la orientación.
El área de un subconjunto
viene dada por la integral Por lo tanto, en cualquier sistema de coordenadas, el elemento de volumen toma la misma expresión: la expresión del elemento de volumen es invariante ante un cambio de coordenadas.
Téngase en cuenta que no había ninguna casuística particular sobre dos dimensiones en la presentación anterior, lo que permite asegurar que se puede generalizar trivialmente a dimensiones arbitrarias.
Por ejemplo, considérese la esfera con radio r centrada en el origen en R3.
Esto se puede parametrizar usando coordenadas esféricas con la aplicación[3] Entonces y el elemento de área es