En álgebra lineal, la matriz de Gram de un conjunto de vectores
en un espacio prehilbertiano, es la matriz que define el producto escalar, cuyas entradas vienen dadas por
i j
{\displaystyle G_{ij}=\langle v_{i},v_{j}\rangle }
Debe su nombre al matemático danés Jørgen Pedersen Gram.
Una matriz de Gram, G, es una matriz cuadrada que cumple las siguientes propiedades: En caso de que los vectores sean reales, la matriz de Gram es simétrica.
Una de las aplicaciones más importantes de dicha matriz es la comprobación de la independencia lineal: un conjunto de vectores será linealmente independiente si y sólo si el determinante de Gram no es nulo.
El determinante de Gram o gramiano
de n-vectores es el determinante de la matriz formada por los n2 productos escalares formados con esos vectores:
Numéricamente, el determinante de Gram coincide con el volumen al cuadrado del paralelepípedo formado por los vectores.
En particular, los vectores son linealmente independientes si y sólo si el determinante de Gram no es nulo (es decir, si la matriz de Gram es invertible).
Normalmente, los vectores son elementos de un espacio euclídeo, o funciones de un espacio
, tales como funciones continuas en un intervalo cerrado
[ a , b ]
{\displaystyle [a,b]}
(que es un subespacio de
( [ a , b ] )
{\displaystyle L^{2}([a,b])}
Dada una función de variable real
i = 1 , … , n }
definida en el intervalo
, la matriz de Gram
i j
, se define como el producto escalar estándar de funciones:
i j
{\displaystyle G_{ij}=\int _{t_{0}}^{t_{f}}l_{i}(\tau )l_{j}(\tau )\,d\tau }
{\displaystyle A^{\mathrm {T} }A}
es la matriz de Gram de las columnas de A, mientras que la matriz
Para una forma bilineal B definida en un espacio vectorial de dimensión finita, se define la matriz de Gram G asociada a un conjunto de vectores
Dicha matriz sería simétrica si la forma bilineal B lo fuera.