Una matriz es simétrica si es una matriz cuadrada, la cual tiene la característica de ser igual a su traspuesta.elementos: es simétrica, si es una matriz cuadrada (m = n) ypara todo i, j con i, j =1,2,3,4,...,n. Nótese que la simetría es respecto a la diagonal principal.Ejemplo para n = 3: A es también la matriz traspuesta de sí misma:Esta última igualdad es una definición alternativa de matriz simétrica.Las matrices simétricas son un caso particular de las matrices hermíticas.Uno de los teoremas básicos que concierne este tipo de matrices es el teorema espectral de dimensión finita, que dice que toda matriz simétrica cuyos elementos sean reales es diagonalizable.En particular, es diagonalizable mediante una matriz ortogonal.Como las matrices simétricas son un caso particular de las matrices hermíticas, todos sus autovalores son reales.Con base en las propiedades de los autovalores de una matriz simétrica, se pueden clasificar en los siguientes tipos: James Joseph Sylvester, un matemático del siglo XIX, estableció un criterio para definir el signo de una matriz simétrica basándose en los signos de la serie de determinantes de los menores principales de la misma.Sea A una matriz cuadrada, esta se puede descomponer en suma de parte simétrica y antisimétrica de la siguiente forma: donde la parte simétrica esQueda entonces demostrado por definición que
Demostración gráfica de transposición de una matriz. Una matriz cuadrada será simétrica si es igual a su transpuesta
