se dice que es diagonalizable si es semejante a una matriz diagonal.
Es decir, si mediante un cambio de base puede reducirse a una forma diagonal.
En este caso, la matriz podrá descomponerse de la forma
es una matriz diagonal formada por los valores propios de
es semejante ortogonalmente a una matriz diagonal, es decir, si la matriz P es ortogonal se dice entonces que la matriz A es diagonalizable ortogonalmente, pudiendo escribirse como
El teorema espectral garantiza que cualquier matriz cuadrada simétrica con coeficientes reales es ortogonalmente diagonalizable.
En este caso P está formada por una base ortonormal de vectores propios de la matriz siendo los valores propios reales.
La matriz P es por tanto ortogonal y los vectores filas de
son los vectores columnas de P. Sea
se puede descomponer de la forma: donde: Un endomorfismo de espacio vectorial (aplicación lineal de un espacio vectorial en sí mismo) se dice diagonalizable por similitud (o simplemente diagonalizable) si existe una base en la que su matriz asociada sea una matriz diagonal.
Sin embargo la diagonalización no está asegurada, es decir no es posible decir que todo endomorfismo sea diagonalizable.
La importancia de la diagonalización nos motiva a obtener una base en la que la matriz asociada a un endomorfismo no diagonalizable sea más simple aunque no diagonal.
Para ello se seguirán las mismas técnicas que para diagonalización, usando la teoría sobre autovalores y autovectores (también llamados valores y vectores propios o en inglés eigenvalues y eigenvectors).
Recordemos que dado un operador lineal
se dice que W subespacio de V es T-invariante si
entonces para ver la validez de este resultado, considere
denota la matriz identidad de tamaño
, de forma similar se puede demostrar que
-ésima potencia es muy sencillo pues si entonces Una matriz es diagonalizable si es cuadrada y la multiplicidad (las veces que aparece el valor propio en el polinomio característico si es posible factorizarlo como producto de binomios lineales) de los valores propios es igual a la dimensión del espacio propio que definen.
"Diagonalizar una matriz" se reduce a encontrar sus vectores y valores propios.
Tomemos la matriz: entonces Se aplica el teorema de Cayley-Hamilton: Por ejemplo, vamos a calcular
para ver si se cumple: y veamos que es diagonalizable:
Uno podría verificar fácilmente esto mediante:
{\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {PDP} ^{-1}\Leftrightarrow \mathbf {P} ^{-1}\mathbf {AP} =\mathbf {D} }
los requisitos pedidos al principio, y por tanto la matriz
Podemos calcular, por ejemplo, la séptima potencia de la matriz anterior: Para todo
se cumple: Por tanto, para el ejemplo anterior: No sólo pueden calcularse, potencias de una matriz, sino cualquier función que esté definida sobre el espectro de la matriz.
Por ejemplo puede calcularse la exponencial de la matriz anterior como:
No todas las matrices cuadradas son diagonalizables, pero existen procedimientos similares para hallar matrices
diagonales a bloques de tal modo que