El concepto es muy importante tanto en análisis funcional como en mecánica cuántica.
, que fijada una base se representa por una matriz, siempre tiene algún valor propio
que satisface la ecuación anterior recibe el nombre de espectro puntual de la aplicación lineal L. Sin embargo, cuando buscamos soluciones como la anterior para aplicaciones lineales (operadores) en espacios de dimensión infinita no siempre existe solución.
Por ejemplo en el espacio de Hilbert ℓ2 el "operador desplazamiento a la derecha" que viene dado por:
Las soluciones de (1) pueden relacionarse con las propiedades del operador resolvente dado por:
Los valores complejos para los cuales el operador anterior está bien definido y es acotado sobre un dominio denso se dice que pertenecen al conjunto resolvente.
tiene una operador inverso acotado), si y sólo si B está acotado inferiormente y tiene un conjunto imagen denso en el espacio sobre el espacio de Banach sobre el que está definido.
para los que sucede eso, forman el espectro puntual de B, denotado como
La razón de este otro nombre se debe a que cuando
Un cálculo directo muestra que B no posee valores propios, por lo que su espectro puntual es vacío, pero cada λ, con |λ| = 1, tiene un vector aproximadamente propio; siendo un el vector:
De esto se sigue que B es un operador unitario cuyo espectro cae en el círculo unidad.
Un operador B puede ser acotado inferiormente y no invertible.
Este operador es una isometría, por tanto está acotado inferiormente por 1.
El conjunto de los valores para los cuales B - λI no tiene un conjunto imagen o rango denso se conoce espectro residual y se designa como,
un álgebra de Banach que contiene un elemento unidad I.
En esas condiciones se define el espectro de un elemento
, entonces el conjunto de operadores acotados sobre este espacio, denotado como
El espectro de un operador acotado tiene las siguientes propiedades básicas:
Cuyo resolvente está formado por todos los puntos del plano complejo
Análogamente al caso acotado se dice que un número complejo
pertenece al espectrum si no existe un operador acotado e inverso del resolvente, como el descrito más arriba.
El espectro se puede clasificar de la misma manera que en el caso acotado.
El espectro de un operador no acotado es en general un conjunto cerrado, que puede ser vacío.
y consideremos el operador autoadjunto u observable momento lineal de la mecánica cuántica:
El espectro de este operador es puramente continuo, coincide con el eje real, es decir, todo valor real forma parte del espectro continuo:
Para ver esto basta considerar la sucesión de vectores aproximadamente propios dada por:
Puede verse que al igual que el operador momento, su espectro es puramente continuo y coincide con el eje real, es decir, es posible encontrar una partícula libre en cualquier posición del espacio.
Este es un operador no acotado aunque su dominio es denso en el espacio L2.
Su espectro es puramente puntual y consta de los enteros impares positivos:
Obviamente se trata de operadores no acotados definidos sólo sobre un dominio denso dado por: