Teorema de Liouville (análisis complejo)
En matemáticas, y en particular en el análisis complejo, el teorema de Liouville, llamado así en honor al matemático Joseph Liouville, afirma que si una función es holomorfa en todo el plano complejo y está acotada, entonces es constante.
Nótese que esta afirmación es falsa en los números reales (tómese, por ejemplo, la función
, que es derivable en toda la recta real y está acotada, pero no es constante).
una función entera[1] y acotada, es decir, existe
Una versión más general de este teorema afirma que si
es una función entera y si
f ( z )
debe ser un polinomio de grado a lo más
Como consecuencia directa de lo anterior, si
f ( z )
, un polinomio de grado
es un polinomio de grado a lo más
La fórmula integral de Cauchy dice que
tan grande como queramos, concluimos que
está definida sobre un conjunto simplemente conexo, entonces f debe ser constante.
El teorema de Liouville entrega una demostración simple del teorema fundamental del álgebra, es decir, de que todo polinomio no constante a coeficientes en
La demostración es la siguiente: Luego
, pero como es continua, también es acotada en el disco
Aplicando el teorema de Liouville, la función
Eso contradice nuestra hipótesis inicial, y se concluye que entonces
[2] Nótese que se sigue fácilmente que entonces
tiene tantas raíces como su grado (contando multiplicidad), pues basta dividir cada vez
es la raíz recién encontrada.
Una de las consecuencias interesantes del teorema de Liouville es que el espectro de un operador necesariamente es un conjunto no vacío.
Para verlo, veamos que el hecho de que fuera vacío contradice el teorema de Liouville.
Si dicho espectro fuera vacío entonces la norma de la función resolvente:
es un operador acotado de un espacio de Banach, estaría definida en todo el plano complejo y sería holomorfa y acotada.
Y eso implica que la función sería constante por el teorema de Liouville.
Y dado que:
Por ser constante, tendría que ser 0 en todos sitios y eso contradiría el hecho de que el resolvente sea un operador lineal acotado.
