Aunque este enunciado, en principio, parece ser una declaración débil, implica que todo polinomio de grado n de una variable con grado mayor que cero con coeficientes complejos tiene, contando las multiplicidades, exactamente n raíces complejas.
La equivalencia de estos dos enunciados se realiza mediante la división polinómica sucesiva por factores lineales.
El teorema también se enuncia de la siguiente manera: todo polinomio no nulo, de una sola variable, grado n con coeficientes complejos tiene, contado con multiplicidad, exactamente n raíces complejas.
A pesar de su nombre, no existe una demostración puramente algebraica del teorema, ya que cualquier demostración debe utilizar alguna forma de la completitud analítica de los números reales, que es no un concepto algebraico.
[2] Además, no es fundamental para el álgebra moderna; su nombre se le dio en una época en la que álgebra era sinónimo de teoría de ecuaciones.
Albert Girard, en su libro L'invention nouvelle en l'Algebre (publicado en 1629), aseveró que una ecuación de grado
Sin embargo, cuando explica en detalle a qué se está refiriendo, se hace evidente que el autor piensa que la aseveración siempre es cierta; en particular, muestra que la ecuación a pesar de ser incompleta, tiene las siguientes cuatro soluciones (la raíz 1 tiene multiplicidad 2): Leibniz en 1702 y más tarde Nikolaus Bernoulli, conjeturaron lo contrario.
Como se mencionará de nuevo más adelante, se sigue del teorema fundamental del álgebra que todo polinomio con coeficientes reales y de grado mayor que cero se puede escribir como un producto de polinomios con coeficientes reales del cual sus grados son 1 o 2.
(con a real y distinto de 0) se puede escribir en tal manera.
Luego, Nikolaus Bernoulli hizo la misma afirmación concerniente al polinomio
Igualmente mencionó que: El primer intento que se hizo para demostrar el teorema lo hizo d'Alembert en 1746.
Su demostración tenía un fallo, en tanto que asumía implícitamente como cierto un teorema (actualmente conocido como el teorema de Puiseux) que no sería demostrado hasta un siglo más tarde.
Entre otros Euler (1749), de Foncenex (1759), Lagrange (1772) y Laplace (1795) intentaron demostrar este teorema.
A finales del siglo XVIII, se presentaron dos nuevas pruebas, una por James Wood y otra por Gauss (1799), pero ambas igualmente incorrectas.
Finalmente, en 1806 Argand publicó una prueba correcta para el teorema, enunciando el teorema fundamental del álgebra para polinomios con coeficientes complejos.
La prueba es la debida a Argand, sin embargo, en el texto no se le da crédito.
Ninguna de las pruebas mencionadas más arriba son constructivas.
En 1940 Hellmuth Knesser consigue otra prueba de este estilo, que luego sería simplificada por su hijo Marin Kneser en 1981.
El teorema se enuncia comúnmente de la siguiente manera: Todo polinomio en una variable de grado n ≥ 1 con coeficientes reales o complejos tiene por lo menos una raíz (real o compleja).
[3] Es ampliamente conocido también el enunciado: Un polinomio en una variable, no constante y con coeficientes complejos, tiene tantas raíces[4] como indica su grado, contando las raíces con sus multiplicidades.
En otras palabras, dado un polinomio complejo P(z) de grado n ≥ 1, la ecuación P(z) = 0 tiene exactamente n soluciones complejas, contando multiplicidades.
Otras formas equivalentes del teorema son: Hay varias formulaciones equivalentes del teorema: Las dos afirmaciones siguientes son equivalentes a las anteriores, aunque no implican ningún número complejo no real.
Estos enunciados se pueden demostrar a partir de factorizaciones anteriores observando que, si r es una raíz no real de un polinomio con coeficientes reales, su conjugado complejo
A la inversa, si se tiene un factor de grado dos, la fórmula cuadrática da una raíz.
Como el dominio es acotado y la función es continua por ser valor absoluto de un polinomio, que es una función continua, por el teorema de Weierstraß, alcanza su mínimo:
-ésimas (se puede ver esto en el artículo sobre radicación), podemos considerar
, es una función entera con la propiedad de que para cualquier número real
mayor que cero, existe un número positivo
a su vez tiene al menos una raíz y se lo puede factorizar nuevamente.
Como el teorema fundamental del álgebra puede ser visto como la declaración de que el cuerpo de los números complejos es algebraicamente cerrado, se sigue que cualquier teorema concerniente a cuerpos algebraicamente cerrados aplican al cuerpo de los números complejos.