Teorema del valor intermedio
En análisis matemático el teorema del valor intermedio[1] (o más correctamente teorema de los valores intermedios, o TVI), es un teorema sobre funciones continuas reales definidas sobre un intervalo.
Intuitivamente, el resultado afirma que, si una función es continua en un intervalo, entonces toma todos los valores intermedios comprendidos entre los extremos del intervalo.
El teorema del valor intermedio forma parte de los llamados “teoremas de existencia”.
?”, el teorema responde afirmativamente: Sí existe.
Se impone entonces la pregunta: «¿Cuál es ese número real?».
Varias demostraciones son posibles, dependiendo de las premisas iniciales.
La prueba siguiente utiliza la noción del supremo.
Este conjunto es no vacío (contiene a
el supremo (la menor de las cotas superiores); se quiere probar que
Es frecuente (en algunos cursos de cálculo) demostrar independientemente el Teorema de Bolzano y después servirse de él para enunciar el teorema del valor intermedio como un corolario.
El teorema como tal no especifica el número de puntos, solo afirma que al menos existe uno.
Es posible demostrar la propiedad en algunas líneas solamente, evocando nociones de la topología matemática.
Sean f y g dos funciones continuas sobre un intervalo no vacío [a;b] de R, tales que g(a)-f(a) y g(b)-f(b) sean de signo contrario.
Al ser de grado impar, P(x) tiende a
, y P(x) tiende a
Como la función polinómica P es continua, existe al menos un real c comprendido entre a y b y tal que P(c) = 0.
El teorema fue demostrado por primera vez por Bernard Bolzano en 1817.
La idea de que las funciones continuas poseen la propiedad del valor intermedio es de larga data.
Simon Stevin probó el teorema del valor intermedio para polinomios por medio de un algoritmo para construir la expansión decimal de la solución: el algoritmo subdivide el intervalo iterativamente en 10 partes, lo que produce un dígito decimal adicional en cada paso de la iteración.
Otros autores asumían que el resultado es intuitivamente obvio, por lo que no requiere de prueba.
No es necesario que una función sea continua para que la conclusión del teorema de los valores intermedios sea cierta.
En 1875, Darboux demuestra que las funciones que provienen de una derivada, sean continuas o no, poseen la propiedad de los valores intermedios (ver Teorema de Darboux).
