Teorema del punto fijo de Brouwer

Hacia fines del siglo XIX, estos trabajos culminan con varias versiones sucesivas del teorema; en 1912, Luitzen Egbertus Jan Brouwer da una demostración general, estableciendo nuevamente un resultado ya probado por Hadamard en 1910.

La más simple toma a veces la forma siguiente: Es posible generalizarlo a cualquier dimensión finita: En un espacio euclídeo - Toda aplicación continua de una bola cerrada de un espacio euclídeo en sí misma admite un punto fijo.

[4]​ Puede ser aún más general:[Nota 1]​ En un convexo compacto - Toda aplicación continua de un convexo compacto no vacío K de un espacio euclídeo a valores en K, admite un punto fijo.

Este punto fijo es invariante por todas las funciones que, a cada punto de la superficie original, asocian su posición al término de un período t. Esto no sucede necesariamente si la zona corresponde a una banda circular, o no está cerrada.

[Nota 3]​ Para comprender mejor la ecuación diferencial, una nueva rama de las matemáticas ve la luz.

[12]​ En 1886, Poincaré establece un resultado equivalente al teorema del punto fijo de Brouwer[13]​ (este trabajo no se discute en el presente artículo[14]​).

La demostración presentada aquí se limita al caso unidimensional, no así el artículo original.

Estos trabajos ofrecieron nuevas demostraciones elegantes[5]​ del teorema a la vez que sentaron las bases de una teoría combinatoria por venir.

Al final del juego, ciertos hexágonos están cubiertos por piezas (rojas o azules en la ilustración).

El jugador que logra unir ambos lados opuestos por medio de hexágonos gana la partida.

Esta propiedad es la que permite demostrar el teorema del punto fijo de Brouwer.

[23]​ El punto fijo no es necesariamente aquel que parece inmóvil pues el centro del remolino se mueve un poco.

Brouwer añade: «Puedo formular este magnífico resultado de esta otra manera, tomo una hoja de papel y la extiendo, luego otra hoja idéntica que primero arrugo y después aliso aplanándola sobre la primera.