Teorema de la bola peluda
En matemática, y más precisamente en topología diferencial, el teorema de la bola peluda es un resultado que se aplica a esferas que en cada punto poseen un vector, visualizado como un «pelo» tangente a la superficie.
De manera más rigurosa, un campo vectorial continuo definido sobre una esfera de dimensión par, al menos igual a 2, se anula en al menos un punto.
Este resultado se relaciona con los llamados teoremas de punto fijo y tiene numerosas aplicaciones en áreas como la meteorología o la computación gráfica.
Lo que se busca entonces es "peinar" estos pelos alisándolos sobre la superficie de la bola, evitando las discontinuidades: el peinado no tiene raya, no se permite a ningún pelo cambiar bruscamente de dirección con respecto a los otros.
se anula en un punto al menos; es decir que existe
Nota: en dimensión impar, sí es posible construir campos vectoriales continuos que no se anulan nunca.
Este teorema fue demostrado por primera vez por Luitzen Egbertus Jan Brouwer en 1912.
Los formalismos matemáticos requeridos en algunas de ellas escapan a las pretensiones del presente artículo.
[Ver bibliografía] Es una demostración que utiliza el argumento del reductio ad absurdum (se pueden construir análogos tridimensionales: se quiere demostrar que no puede haber campo vectorial tangente y continuo, que no se anule nunca sobre la esfera ordinaria en el espacio tridimensional).
Al razonar por el absurdo, se supone que sí existe una aplicación continua
Lo que se busca es fabricar una bola peluda sin rizo ni calvicie, y obtener así una contradicción.
Intuitivamente, la idea es «plegar» una esfera cortada por la mitad, y hacerla coincidir exactamente con el semi-disco.
Al pegar nuevamente ambos hemisferios de la esfera, los campos tangentes se recomponen continuamente, obteniéndose así un «peinado» continuo y sin «calvicie», que es la contradicción deseada.
Adicionalmente, se define un sistema referencial móvil tangente a la esfera.
Se le puede asociar entonces a cada paralelo un número: el número de vueltas del campo vectorial en el sistema móvil a lo largo de ese paralelo.
Este número está bien definido pues el campo vectorial no se anula; depende continuamente de la latitud del paralelo -según los resultados estándares sobre la continuidad del número de vueltas- y es entero.
Para paliar esta dificultad, se proyectan a la vez el campo vectorial
y es sistema móvil sobre el plano tangente al polo norte.
Por continuidad, el número de vueltas no cambia y vale
Para el desarrollo algebraico formal de las demostraciones expuestas, se puede tomar, por ejemplo,
el campo de vectores; a continuación se parametriza la esfera en coordenadas polares (suponiendo un radio 1): con 0≤
Se demuestra por el absurdo que esta funcíón debe anularse forzosamente en al menos un punto
La demostración analítica debida a Milnor generaliza el teorema al caso de cualquier dimensión.
Se requiere algo más de trabajo riguroso para mostrar que, debido a que el número de Lefschetz no se anula, debe haber un punto en el que el campo vectorial sea cero.
Las consecuencias del teorema son numerosas y no se limitan a las matemáticas.
Como una idealización, el viento tiene componentes vectoriales bidimensionales, y su movimiento a lo largo del eje vertical es nulo.
Este escenario no presenta mayor interés desde el punto de vista del teorema, y es físicamente irrealista (viento siempre habrá).
El teorema de la bola peluda impone la existencia permanente de un punto sobre la tierra en donde el viento se modeliza por un sistema arremolinado y, en su centro, un ojo.
Un problema común en computación gráfica es el de generar, en el espacio tridimensional, un vector no nulo que sea ortogonal a una zona no nula dada.
Para verlo, puede considerarse el vector dado como el radio de una esfera: encontrar un vector ortogonal no nulo ortogonal a uno dado sería equivalente a encontrar un vector no nulo que sea tangente a la superficie de esa esfera.
