En topología algebraica y álgebra abstracta, homología' (en parte de griego ὁμός homos "idéntico") es un cierto procedimiento general para asociar una secuencia de grupo abelianos o módulos con un objeto matemático dado, como un espacio topológico o un grupo.Es decir, la cohomología se define como el estudio abstracto de las co-cadenas, cociclos y co-límites.Algunos ejemplos son el plano, la esfera y el toroide, que pueden realizarse en tres dimensiones, pero también la botella de Klein y el plano real proyectivo que no pueden realizarse en tres dimensiones, pero sí en cuatro.En lenguaje matemático preciso, un nudo es una incrustación de un círculo en el espacio euclídeo tridimensional,Dos nudos matemáticos son equivalentes si uno puede transformarse en el otro mediante una deformación deEsta clase de espacios es más amplia y tiene algunas propiedades categóricas mejores que los complejos simpliciales, pero aún conserva una naturaleza combinatoria que permite la computación (a menudo con un complejo mucho más pequeño).Los grupos abelianos finitamente generados pueden clasificarse completamente y son particularmente fáciles de usar.Varios resultados útiles se siguen inmediatamente de trabajar con grupos abelianos finitamente generados.Los grupos fundamentales y los grupos de homología y cohomología no sólo son invariantes del espacio topológico subyacente, en el sentido de que dos espacios topológicos que son homeomorfos tienen los mismos grupos asociados, sino que sus morfismos asociados también se corresponden: un mapeo continuo de espacios induce un homomorfismo de grupo en los grupos asociados, y estos homomorfismos pueden utilizarse para demostrar la no existencia (o, mucho más profundamente, la existencia) de mapeos.Esto se amplió en la década de 1950, cuando Samuel Eilenberg y Norman Steenrod generalizaron este enfoque.Definieron la homología y la cohomología como funtores equipados con transformaciones naturales sujetas a ciertos axiomas (por ejemplo, una equivalencia débil de espacios pasa a un isomorfismo de grupos homológicos), verificaron que todas las teorías (co)homológicas existentes satisfacían estos axiomas, y luego demostraron que tal axiomatización caracterizaba unívocamente la teoría.
Un toro, uno de los objetos más frecuentemente estudiados en topología algebraica
