El teorema apareció por primera vez en un artículo de 1953 en el American Journal of Mathematics de Samuel Eilenberg y Joseph A. Zilber.
Una posible ruta hacia una demostración es el teorema del modelo acíclico.
El teorema se puede formular de la siguiente manera.
son espacios topológicos, entonces tenemos los tres complejos de cadenas
(El argumento se aplica igualmente a los complejos de cadena simplicial o singular).
, cuyo diferencial es, por definición, para
es cadena homotópica a la identidad.
Además, los mapas son naturales en
En consecuencia, los dos complejos deben tener la misma homología: El teorema original se demostró en términos de modelos acíclicos, pero Eilenberg y Mac Lane obtuvieron más provecho en una formulación que utiliza mapas explícitos.
que producen se conoce tradicionalmente como el mapa de Alexander – Whitney y
Esto es lo que se conocería como dato de contracción o retracción de homotopía.
que, seguido por el Alexander – Whitney
Con respecto a estos coproductos en
En sí mismo no es un mapa de coalgebras.
Los mapas de Alexander – Whitney y Eilenberg – Zilber se dualizan (sobre cualquier elección de anillo de coeficientes conmutativos).
con unidad) a un par de mapas que también son equivalencias de homotopía, como lo atestiguan los duales de las ecuaciones anteriores, utilizando la homotopía dual
El coproducto no se dualiza directamente, porque la dualización no se distribuye entre productos tensoriales de módulos generados infinitamente, pero hay una inyección natural de álgebras graduadas diferenciales.
α ⊗ β ↦ ( σ ⊗ τ ↦ α ( σ ) β ( τ ) )
, el producto se toma en el anillo de coeficientes
induce un isomorfismo en cohomología, por lo que uno tiene el zig-zag de los mapas de álgebra graduados diferenciales inducir un producto
en cohomología, conocido como producto de taza, porque
entonces todos los mapas van de la misma manera, se obtiene el producto de taza estándar en cocadenas, dado explícitamente por que, desde la evaluación de cochain
desaparece a menos que
, se reduce a la expresión más familiar.
Tenga en cuenta que si este mapa directo
un álgebra conmutativa graduada, que no lo es.
En el artículo siguiente de Andrew Tonks se ofrece una generalización importante para el caso no abeliano que utiliza complejos cruzados.
Esto proporciona todos los detalles de un resultado sobre el espacio de clasificación (simplicial) de un complejo cruzado declarado, pero no probado en el artículo de Ronald Brown y Philip J. Higgins sobre la clasificación de espacios.
El teorema de Eilenberg-Zilber es un ingrediente clave para establecer el teorema de Künneth, que expresa los grupos de homología
A la luz del teorema de Eilenberg-Zilber, el contenido del teorema de Künneth consiste en analizar cómo se relaciona la homología del complejo tensorial producto con las homologías de los factores.