El enunciado clásico del teorema de Künneth relaciona la homología singular de dos espacios topológicos X e Y y su espacio producto
En el caso más simple posible la relación es la de un producto tensorial, pero para aplicaciones muy a menudo es necesario aplicar ciertas herramientas del álgebra homológica para expresar la respuesta.
Estos numerosos resultados llevan el nombre del matemático alemán Hermann Künneth.
El caso más simple es cuando el anillo de coeficientes de homología es un campo F. En esta situación, el teorema de Künneth (para homología singular) establece que para cualquier número entero k, Además, el isomorfismo es un isomorfismo natural.
Más precisamente, existe una operación de producto cruzado mediante la cual un ciclo i en X y un ciclo j en Y se pueden combinar para crear un
, esto se lee como una identidad en los polinomios de Poincaré.
En el caso general, se trata de series de potencias formales con coeficientes posiblemente infinitos y deben interpretarse en consecuencia.
La fórmula anterior es sencilla porque los espacios vectoriales sobre un campo tienen un comportamiento muy restringido.
A medida que el anillo de coeficientes se vuelve más general, la relación se vuelve más complicada.
En este caso, la ecuación anterior ya no siempre es cierta.
Este factor de corrección se expresa en términos del funtor Tor, el primer funtor derivado del producto tensorial.
Cuando R es un PID, entonces el enunciado correcto del teorema de Künneth es que para cualquier espacio topológico X e Y existen secuencias exactas cortas naturales Además, estas secuencias se dividen, pero no canónicamente.
Las secuencias exactas cortas que acabamos de describir se pueden utilizar fácilmente para calcular los grupos de homología con coeficientes enteros del producto.
es Por lo tanto, la secuencia exacta corta de Künneth se reduce en todos los grados a un isomorfismo, porque en cada caso hay un grupo cero en el lado izquierdo o derecho de la secuencia.
El resultado es y todos los demás grupos de homología son cero.
Para cadenas celulares en complejos CW, se trata de un isomorfismo sencillo.
Entonces, la homología del producto tensorial de la derecha viene dada por la fórmula espectral de Künneth del álgebra homológica.
[1] La libertad de los módulos de la cadena significa que en este caso geométrico no es necesario utilizar ninguna hiperhomología o producto tensorial derivado total.
[2] Existen muchas teorías de homología y cohomología generalizadas (o "extraordinarias") para espacios topológicos.
La teoría K y el cobordismo son los más conocidos.
Sin embargo, los teoremas de Künneth en la misma forma se han demostrado en muchísimos casos mediante otros métodos diferentes.