Plano proyectivo real
En matemáticas, el plano proyectivo real es un ejemplo de una variedad bidimensional compacta no orientable; en otras palabras, una superficie unilateral.
La geometría proyectiva no tiene que ver necesariamente con la curvatura y el plano proyectivo real puede retorcerse y colocarse en el plano euclídeo o en el espacio tridimensional de muchas maneras diferentes.
El plano proyectivo no se puede incrustar (sin intersección) en el espacio euclídeo tridimensional.
El campo vectorial normal de la unidad que apunta hacia afuera daría una orientación del límite de la variedad, pero el límite sería el plano proyectivo, que no es orientable.
Esto significa que el plano proyectivo es el espacio cociente de la esfera obtenido al dividirla en clases bajo la relación de equivalencia ~, donde x ~ y si y = − x.
Debido a que la esfera recubre el plano proyectivo real dos veces, el plano puede representarse como un hemisferio cerrado alrededor de cuyo borde se identifican puntos opuestos similares.
[3] La superficie romana de Steiner es un mapa más degenerado del plano proyectivo en el espacio tridimensional, que contiene una gorra cruzada.
En 1874, Klein describió la aplicación siguiente:[1] La proyección central del hemisferio proyectivo sobre un plano produce el plano proyectivo infinito habitual, que se describe a continuación.
Se obtiene una superficie cerrada pegando un disco a una gorra cruzada.
Proyectando el disco auto-intersecante en el plano de simetría (z = 0 en la parametrización dada anteriormente) que pasa solo a través de los puntos dobles, el resultado es un disco ordinario que se repite (se duplica sobre sí mismo).
Los puntos en el borde del disco auto intersecante vienen en pares, que son reflejos entre sí con respecto al plano z = 0.
Se forma un disco con una gorra cruzada al identificar estos pares de puntos, haciéndolos equivalentes entre sí.
Pero esto significa que los pares de puntos opuestos en el borde del disco ordinario (equivalente) se identifican entre sí; así es como se forma un plano proyectivo real a partir de un disco.
Por lo tanto, la superficie que se muestra en la Figura 1 (gorra cruzada con disco) es topológicamente equivalente al plano proyectivo real RP2.
Una línea proyectiva correspondiente al plano ax + by + cz = 0 en R3 tiene las coordenadas homogéneas (a : b : c ).
Un punto [x : y : z] se encuentra en una línea recta (a : b : c) si ax + by + cz = 0.
El plano y la recta son subespacios lineales en R3, que siempre pasan por cero.
Supóngase que se está mirando ese plano (desde una posición más alejada del eje z y mirando hacia el origen) y hay dos líneas paralelas dibujadas en el plano.
El producto cruzado permite calcular dicho vector: la recta que une dos puntos tiene coordenadas homogéneas dadas por la ecuación x1 × x2.
Esta aplicación se restringe a una función cuyo dominio es S2 y, dado que cada componente es un polinomio homogéneo de grado par, toma los mismos valores en R4 en cada uno de los dos puntos antipodales en S2.
Al pegar los planos proyectivos sucesivamente se obtienen superficies no orientables de demigenus superior.
El artículo sobre el polígono fundamental describe las superficies superiores no orientables.
