Superficie de Steiner
La superficie de Steiner, descubierta en 1844 por el matemático suizo Jakob Steiner, es una inmersión auto-intersecante del plano proyectivo real en el espacio tridimensional, con un grado de simetría inusualmente alto.
[1] El matemático suizo Jakob Steiner (1796-1863) descubrió este tipo de superficies en 1844 durante un viaje a Roma, por lo que también se suele conocer como superficie romana.
Steiner nunca publicó sus descubrimiento, y sería su colega, el matemático alemán Karl Weierstrass (1815-1897), quien publicaría un artículo con los resultados de Steiner en 1863, en el mismo año de la muerte del matemático suizo.
[1] Existen diez tipos de superficies de Steiner (clasificados por Coffman, Schwartz y Stanton) entre los que se encuentran la gorra cruzada y la propia superficie romana de Steiner.
[2] La construcción más simple es la imagen de una esfera centrada en el origen bajo la acción de la función
{\displaystyle f(x,y,z)=(yz,xz,xy)}
Esto lleva a la fórmula implícita: Además, al parametrizar la esfera en términos de longitud (
), se obtienen las siguientes ecuaciones paramétricas para la superficie romana: El origen es un punto triple, y cada uno de los planos.
, es tangente a la superficie en este punto.
Los otros lugares de la auto-intersección son puntos dobles, que definen segmentos a lo largo de cada eje coordenado y terminan en seis puntos de aplastamiento.
Más específicamente, son proyecciones lineales de una inmersión en un espacio de 5 dimensiones, llamada superficie de Veronese, que es la imagen de una esfera regular centrada en el origen.
Una superficie de Steiner es un polinomio cuadrático
de una superficie dada en espacio tridimensional: Construcción: dado el espacio proyectivo real, considérense las coordenadas homogéneas
en el espacio proyectivo de 5 dimensiones, con coordenadas homogéneas: Por simplicidad se considerara solo el caso para
Se traza la esfera identificada por los tres puntos
tal que Ahora se aplica la transformación a estos puntos
{\displaystyle T(x,y,z)=(yz,zx,xy)=(U,V,W),\,}
De esta manera, se obtiene que y por lo tanto
La superficie romana viene dada por:[3] En coordenadas cartesianas, se tiene que: Otros parámetros de la ecuación están dados por: Ahora, considérese una esfera de radio
, cuya superficie se expresa según su longitud
Entonces, sus ecuaciones paramétricas son Entonces, aplicando la transformación
( x , y , z ) ↦ ( x y , y z , x z ) = ( cos ( u ) sin ( u )
La gorra cruzada (o bonete) viene dada por:[4] En coordenadas cartesianas: El resultado de la aplicación que genera la superficie no es una inmersión del plano proyectivo; sin embargo, la figura resultante de la eliminación de seis puntos singulares sí lo es.
Antes de transformarse, la esfera no es homeomorfa con el plano proyectivo real
, mientras que la esfera centrada en el origen sí posee esta propiedad: es decir, si los puntos
pertenecen a la esfera, sus antipodales
pertenecen a la misma esfera, pero los dos tripletes de coordenadas son diferentes y están ubicados en lados opuestos con respecto al centro de la esfera.
