Plano proyectivo

Viendo sus dos principios (dos rectas se cortan en un punto y dos puntos definen una recta), la geometría proyectiva parece la más pobre de todas las geometrías, pues en sus enunciados sólo interviene el concepto de incidencia.

Solo permite enunciados de incidencia tales como: Sin embargo, según hemos visto, los enunciados geométricos en que además interviene el concepto de paralelismo (la llamada geometría afín) pueden reformularse en el plano proyectivo sin más que fijar una recta, recta que entonces recibe el nombre de «recta del infinito».

Los geómetras alemanes del siglo XIX alcanzaron a exponerla considerando el retículo formado por las subvariedades lineales (puntos, rectas, planos, etc.).

Pasch, asombrado ante la sencillez del argumento («... auf denkbar einfachste Art...») que simplificaba notablemente su reciente libro, lo publicó en 1888 en los Matematische Annalen.

Pero la sencilla recta proyectiva se resiste a ser caracterizada como retículo, pues su relación de orden es absolutamente trivial.