Recta proyectiva
En matemáticas, una recta proyectiva es la extensión de una recta habitual, a la que se añade un punto adicional denominado punto del infinito.
La declaración y la prueba de muchos teoremas de geometría se simplifican por la eliminación resultante de casos especiales; por ejemplo, dos líneas proyectivas distintas en un plano proyectivo siempre se encuentran exactamente en un punto, eliminándose la circunstancia del "paralelismo" como un caso singular.
Dos de estos pares son equivalentes si difieren en un factor global λ distinto de cero: La recta proyectiva puede identificarse con la línea K extendida por un punto en el infinito.
Más precisamente, la recta K puede identificarse con el subconjunto de P1( K ) dado por Este subconjunto cubre todos los puntos en P1(K) excepto uno, que se llama punto del infinito : Esto permite extender la aritmética en K a P1 (K) mediante las fórmulas Traduciendo esta aritmética en términos de coordenadas homogéneas, para el caso [0 : 0] no ocurre que: El grupo lineal
y esta acción pasa al cociente.
Como las homotecias dan la identidad al pasar al cociente, se obtiene una acción del cociente del grupo
está dada, con las convenciones del párrafo anterior, por Para
Existe una homografía y solo una que aplica
es por definición la razón doble de estos cuatro puntos, denotada como
Si todos estos puntos son diferentes de
También puede considerarse como la recta K junto con un punto del infinito ∞ idealizado.
El punto se conecta a ambos extremos de K, creando un ciclo cerrado o círculo topológico.
Se obtiene un ejemplo proyectando los puntos de R2 sobre el círculo unitario y luego identificando puntos diametralmente opuestos.
Compárese con la recta numérica real extendida, en la que se distinguen
Agregar un punto en el infinito al plano complejo da como resultado un espacio que es topológicamente una esfera.
En términos de coordenadas homogéneas [x : y], q de estos puntos tienen la forma: y el punto del infinito restante puede representarse como [1 : 0].
Esta acción de grupo es transitiva, de modo que P1(K) es un espacio homogéneo para el grupo, a menudo denotado como PGL2(K) para enfatizar la naturaleza proyectiva de estas transformaciones.
La transitividad implica que existe una homografía que transformará cualquier punto Q en cualquier otro punto R. El punto del infinito en P1(K) es, por lo tanto, un convenio de elección de coordenadas: las coordenadas homogéneas expresan un subespacio unidimensional mediante un único punto distinto de cero (X, Y) que se encuentra en él, pero las simetrías de la línea proyectiva permiten deplazar el punto
Mucho más es cierto, en el sentido de que alguna transformación puede llevar cualquier punto distinto Qi para i = 1, 2, 3 a cualquier otro trío Ri de puntos distintos (triple transitividad).
El aspecto computacional de este hecho es la razón anarmónica.
De hecho, una conversión generalizada es cierta: una acción de grupo estrictamente 3-transitiva es siempre (isomorfa a) una forma generalizada de una acción PGL2(K) sobre una línea proyectiva, reemplazando "campo" por "campo KT" (generalizando el inverso a un tipo de involución más débil), y "PGL" por una generalización correspondiente de aplicaciones lineales proyectivas.
[2] La recta proyectiva es un ejemplo fundamental de una curva algebraica.
En general, una curva (no singular) del género 0 es racionalmente equivalente sobre K a una cónica C, que es biracionalmente equivalente a la recta proyectiva si y solo si C tiene un punto definido sobre K; geométricamente, tal punto P puede usarse como origen para hacer explícita la equivalencia biracional.
Este es el origen de los métodos en geometría algebraica que son inductivos sobre la dimensión.
Los mapas racionales juegan un papel análogo a las funciones meromórficas del análisis complejo, y de hecho, en el caso de las superficies compactas de Riemann, los dos conceptos coinciden.
Si ahora se considera que V es de dimensión 1, se obtiene una imagen de una curva algebraica típica C presentada 'sobre' P1(K).
Suponiendo que C no es singular (que no es una pérdida de generalidad comenzando con K(C)), se puede demostrar que dicha aplicación racional de C a P1(K) se definirá en todas partes (ese no es el caso si hay singularidades, ya que, por ejemplo, un punto doble donde una curva se cruza a sí misma puede dar un resultado indeterminado como resultado de una aplicación racional).
Esto proporciona una imagen en la que la característica geométrica principal es la ramificación.
Muchas curvas, como por ejemplo las curvas hiperelípticas, pueden presentarse de manera abstracta, como recubrimientos ramificados de la línea proyectiva.
Una curva normal racional en el espacio proyectivo Pn es una curva racional que no se encuentra en un subespacio lineal propio; se sabe que solo hay un ejemplo (hasta la equivalencia proyectiva),[3] dado paramétricamente en coordenadas homogéneas como Véase cúbica alabeada como un primer caso interesante.
