Razón anarmónica

Si A, B, C y D son cuatro puntos distintos de una línea recta (d), relacionados por una razón doble, o relación anarmónica entre (A, B) y (C, D), entonces se establece una relación entre sus medidas algebraicas tal que: Es esencial tener en cuenta que no necesariamente se conoce el orden de los puntos y que, de acuerdo con las posibles permutaciones, la razón doble entre ellos podría tener 4!

Así mismo, permanece invariante para homografías, como la perspectiva cónica.

, se tiene que: Por otro lado, calculando la relación entre los pesos comprobándose la igualdad

Un resultado importante en la geometría proyectiva es que una proyección central conserva la relación anarmónica.

Permite afirmar que en la figura adjunta que las relaciones anarmónicas de (A, B, C, D) y (A', B', C', D') son iguales sean cuales sean las líneas que llevan la serie de cuatro puntos (Una demostración es posible usando el teorema de Thalès varias veces).

A continuación se define la razón anarmónica de las cuatro rectas: De hecho, se demuestra que esta relación es igual a: lo que explica que la razón doble es independiente del corte transversal seleccionado.

Cuando la razón anarmónica es igual a -1, se dice que los cuatro puntos forman una cuaterna armónica.

Se puede probar que C también es el conjugado de D con respecto a estos mismos puntos.

Se demuestra en la geometría proyectiva (sin recurrir a los senos) que esta propiedad es cierta para cualquier cónica (dada una cónica, si ABCDM son fijos y P pertenece a la cónica, entonces la razón doble P (ABCD) es constante para cualquier P).

Esta propiedad permite generalizar la construcción del conjugado de D con respecto a BC, teniendo un punto arbitrario A fuera de (BC) y un punto M arbitrario en (AD).

DEF: sean α, β, γ y δ cuatro números complejos distintos dos a dos.