{\displaystyle {\frac {AF}{FB}}\cdot {\frac {BD}{DC}}\cdot {\frac {CE}{EA}}=1,}donde AF es la distancia entre A y F (la distancia en una dirección sobre una línea es definida como positiva, y en la dirección opuesta es definida como de signo negativo).[2] Se desconoce si Ceva habría descubierto este teorema por cuenta propia o si habría encontrado una traducción de la obra de Al-Mu'taman.El enunciado del teorema es muy parecido al del teorema de Menelao: sus ecuaciones difieren solamente de un signo.De hecho, en un espacio proyectivo, reescribiendo estas en términos de razones dobles, son teoremas duales.Sean A, B y C los vértices de un triángulo cualquiera y L, M y N puntos en sus respectivos lados opuestos no sobre sus vértices.El teorema de Al-Mu'taman-Ceva expresa que si las rectas AL, BM y CN son paralelas o concurrentes (pasan por un mismo punto) entonces{\displaystyle {\frac {AN}{NB}}\cdot {\frac {BL}{LC}}\cdot {\frac {CM}{MA}}=1,}Si en cada lado de un triángulo se escoge un punto (no coincidente con el vértice) de tal modo que el producto de las razones en que los puntos señalados dividen los lados del triángulo sea igual a 1, entonces las rectas que unen los vértices del triángulo y los puntos de lados opuestos pasan por un mismo centro (punto) o son las tres paralelas.{\displaystyle {\frac {AN}{NB}}\cdot {\frac {BL}{LC}}\cdot {\frac {CM}{MA}}=1,}entonces Al, BM, y CN pasan por el mismo punto o son paralelas.[3] Existe una forma trigonométrica equivalente del teorema de Ceva, que establece que, AD,BE,CF son concurrentes o paralelas si y solo si{\displaystyle {\frac {\sin \angle BAD}{\sin \angle CAD}}\cdot {\frac {\sin \angle CBE}{\sin \angle ABE}}\cdot {\frac {\sin \angle ACF}{\sin \angle BCF}}=1.}La siguiente demostración sólo es válida para espacios afines a los que podamos dotar de esctructura de espacio euclídeo (para poder definir áreas).Además, añadimos una suposición: las tres rectasEn ese caso, la demostración siguiente no sería válida.Hacemos en primer lugar la demostración de la implicación directa.En primer lugar, observamos que el lado izquierdo de la ecuación es siempre positivo, pues o las tres razones simples son positivas (si) o una es positiva y las otras dos son negativas (siPor tanto, manipulando algebraicamente la anterior igualdad,Multiplicando las tres ecuaciones obtenemos que{\displaystyle \left|{\frac {\overline {AF}}{\overline {FB}}}\cdot {\frac {\overline {BD}}{\overline {DC}}}\cdot {\frac {\overline {CE}}{\overline {EA}}}\right|=1,}como queríamos, pues ya hemos visto que el producto dentro del valor absoluto es siempre positivo.Veamos ahora la implicación inversa, que es simplemente un corolario de la directa., respectivamente, de forma que se cumple la igualdad., que existe por hipótesis (estas rectas no son paralelas).Pero sólo un punto puede cortar un segmento en una razón determinada, por lo queEl teorema de Ceva es un enunciado afín, es decir, no es necesario utilizar los conceptos de longitud, área o ángulo ni para enunciarlo ni para demostrarlo.Por tanto, es cierto en espacios más generales en los que estos conceptos no tienen por qué estar definidos (espacios afines).En esta sección se esbozan los pasos de una demostración general que no usa esos conceptos y, además, incluye el caso en que las rectas son paralelas, que no se podía tratar con la anterior estrategia:
El teorema de Al-Mu'taman-Ceva, caso 1: las tres líneas son concurrentes en un punto O dentro de ABC.
El teorema de Al-Mu'taman-Ceva, caso 2: el punto O se encuentra fuera de ABC.
