Área

[2]​ Ocasionalmente se usa el término "área" como sinónimo de superficie,[3]​ cuando no existe confusión entre el concepto geométrico en sí mismo (superficie) y la magnitud métrica asociada al concepto geométrico (área).El método exhaustivo consiste en inscribir y circunscribir polígonos en la figura geométrica, aumentar el número de lados de dichos polígonos y hallar el área buscada.Dicho sistema fue empleado tiempo después por Arquímedes para resolver otros problemas similares,[5]​ así como el cálculo aproximado del número π.Arquímedes aproximó el valor de π (y por lo tanto el área de un círculo de radio unitario) con su método, en el que inscribió un triángulo regular en un círculo y anotó su área, luego duplicó el número de lados para dar un hexágono regular, luego duplicó repetidamente el número de lados a medida que el área del polígono se acercaba más y más a la del círculo (e hizo lo mismo con polígonos circunscritos).[9]​ En 1882, el matemático alemán Ferdinand von Lindemann demostró que π es trascendental (no es la solución de ninguna ecuación polinómica con coeficientes racionales), lo que confirma una conjetura de Legendre y Euler.[8]​: p.196 Herón de Alejandría encontró lo que se conoce como la fórmula de Herón para el área de un triángulo en términos de sus lados, y se puede encontrar una prueba en su libro Métrica, escrito alrededor del 60 d. C. Se ha sugerido que Arquímedes conocía la fórmula más de dos siglos antes,[10]​ y dado que Métrica es una colección del conocimiento matemático disponible en el mundo antiguo, es posible que la fórmula sea anterior a la referencia dada en ese trabajo.Fue publicado en 1247 en Shushu Jiuzhang («Tratado matemático en nueve secciones»), escrito por Qin Jiushao.Un enfoque para definir lo que se entiende por «área» es a través de axiomas.A pesar de que no se expresan en la misma unidad, es común confundir estas dos nociones[14]​ o creer que cuanto mayor es una, mayor es también la otra.Sin embargo, no existe un vínculo directo entre el área y el perímetro de ninguna figura.Por ejemplo, un rectángulo que tiene un área igual a un metro cuadrado puede tener como dimensiones, en metros: 0,5 y 2 (por lo tanto un perímetro igual a 5 m) pero también 0,001 y 1000 (por lo tanto un perímetro de más de 2000 m).Para un polígono (simple) del que se conocen las coordenadas cartesianasLa fórmula del área de un rectángulo se deduce directamente de las propiedades básicas del área y a veces se toma como definición o axioma.Por otra parte, si la geometría se desarrolla antes que la aritmética, esta fórmula puede utilizarse para definir la multiplicación de los números reales.Consisten en cortar una forma en trozos cuyas áreas deben sumar el área de la forma original.Por ejemplo, cualquier paralelogramo puede subdividirse en un trapecio y un triángulo rectángulo, como se muestra en la figura.Si el triángulo se traslada al otro lado del trapecio, la figura resultante es un rectángulo.Sin embargo, el mismo paralelogramo también puede cortarse a lo largo de una diagonal en dos triángulos congruentes, como se muestra en la figura.Se pueden utilizar argumentos similares para encontrar fórmulas de área para el trapecio y polígonos más complicados., y la anchura es la mitad de la circunferencia del círculo oAunque la disección utilizada en esta fórmula es sólo aproximada, el error es cada vez menor a medida que el círculo se divide en más y más sectores.Este argumento es una simple aplicación de las ideas del cálculo.En la antigüedad, el método por agotamiento se utilizaba de forma similar para encontrar el área del círculo, y este método se reconoce ahora como un precursor del cálculo integral.Utilizando métodos modernos, el área de un círculo puede calcularse mediante una integral definida:La mayoría de las fórmulas básicas para el área superficial se pueden obtener cortando las superficies y aplanándolas.Del mismo modo, si se hace un corte a lo largo de un cono, la superficie lateral se puede aplanar hasta convertirla en un sector de un círculo y calcular el área resultante.Al igual que con la fórmula del área de un círculo, cualquier derivación de esta fórmula utiliza intrínsecamente métodos similares al cálculo.Para encontrar el área acotada entre dos funciones cuadráticas, restamos una de la otra para escribir la diferencia como:Dada una curva simple cerrada en el plano euclídeo puede probarse que su longitud o perímetro del área encerrada y la propia área encerrada satisfacen la relación:la parte inferior) (rotación alrededor del eje x) Los cálculos anteriores muestran cómo encontrar las áreas de muchas formas comunes.[19]​ Se usa comúnmente para describir el área transversal de interacción en física nuclear.