Espacio proyectivo
Los objetos geométricos, tales como puntos, rectas, o planos, pueden tener una representación como elementos en espacios proyectivos basados en coordenadas homogéneas.
Como resultado, varias relaciones entre esos objetos pueden ser descritas de la manera más simple posible sin coordenadas homogéneas.
Por ejemplo, en la geometría estándar, para el plano, dos rectas siempre intersecan en un punto excepto cuando éstas son paralelas.
Concretando, se puede realizar la construcción del plano proyectivo real P2(R) con cierto detalle.
Hay tres definiciones equivalentes: La última fórmula se conoce con el nombre de coordenadas homogéneas.
El último conjunto puede subdividirse de manera similar en dos subconjuntos disjuntos, con puntos [x/y : 1 : 0] y [x : 0 : 0].
Geométricamente, el primer subconjunto, que es isomorfo (no sólo como conjunto, sino también como variedad, como se verá después) a R2, es en la imagen el hemisferio superior amarillo (sin el ecuador), o equivalentemente el hemisferio inferior.
Equivalentemente, es el conjunto de todas las rectas en Rn+1 que pasan a través del origen 0 := (0, ..., 0).
En lugar de R, se puede tomar cualquier cuerpo, o incluso un anillo de división, k. Tomando los números complejos o los cuaterniones, se obtiene el espacio proyectivo complejo Pn(C) y espacio proyectivo cuaterniónico Pn(H).
La estructura de la variedad también viene dada por esos mapas anteriores.
Otra forma de pensar sobre la recta proyectiva es la siguiente: tómense dos copias de una recta afín con coordenadas x e y, respectivamente, y péguense todas juntas a lo largo de los subconjuntos x ≠ 0 e y ≠ 0 mediante los mapeados La variedad resultante es la recta proyectiva.
La descomposición anterior en conjuntos disjuntos se lee en general como: esto, a veces llamado descomposición en células, puede ser usado para calcular la cohomología singular de un espacio proyectivo.
La cobertura de los anteriores subconjuntos abiertos también muestra que el espacio proyectivo es una variedad algebraica (o esquema), está cubierta por n + 1 n-espacios afines.
Los fibrados de línea (muy) amplios están diseñados para dar respuesta a esta pregunta.
Puesto que los miembros de la clase de equivalencia difieren en un factor escalar, y las aplicaciones lineales preservan los factores escalares, esta aplicación inducida está bien definida.
(Si T no es inyectiva, se tendrá un espacio nulo mayor que {0}; en este caso el significado de la clase de T(v) es problemático si v no es cero y está dentro del espacio nulo.
(se tratará únicamente con automorfismos que preservan el cuerpo base k).
Cuando la construcción anterior es aplicada al espacio dual V* en vez de a V, se obtiene el espacio proyectivo dual, que puede ser canónicamente identificado con el espacio de hiperplanos que pasan a través del origen de V.
