Grupo lineal proyectivo
El grupo lineal especial proyectivo, PSL, se define de forma análoga, como la acción inducida del grupo lineal especial sobre el espacio proyectivo asociado.
Se debe tener en cuenta que PGL(n, F) y PSL(n, F) son isomórficos si y solo si cada elemento de F tiene una raíz nésima en F. Como ejemplo, téngase en cuenta que PGL(2, C) = PSL(2, C), pero que PGL(2, R) > PSL(2, R);[1] esto corresponde a que la recta proyectiva real es orientable, y el grupo lineal especial proyectivo solo son las transformaciones que conservan la orientación.
Las transformaciones lineales proyectivas son colineaciones (los planos en un espacio vectorial corresponden a líneas en el espacio proyectivo asociado y las transformaciones lineales asignan planos a planos, por lo que las transformaciones lineales proyectivas asignan líneas rectas a líneas rectas), pero en general no todas las colineaciones son transformaciones lineales proyectivas (el PGL es en general un subgrupo propio del grupo de colineación).
Para n ≥ 3, el grupo de colineación es un grupo proyectivo semilineal, PΓL - esto es PGL, sometido a torsión por automorfismos; formalmente, PΓL ≅ PGL ⋊ Gal(K/k), donde k es la característica de K; que se define como una homografía.
para n ≥ 2 o C), el grupo lineal proyectivo es un subgrupo propio del grupo de colineación, que puede considerarse como las "transformaciones que conservan una estructura proyectiva semilineal".
En consecuencia, el grupo de cocientes PΓL / PGL = Gal(K/k) corresponde a "elecciones de estructura lineal", siendo la identidad (punto base) la estructura lineal existente.
Sin embargo, con la excepción del plano no desarguesiano, todos los espacios proyectivos son la proyectivización de un espacio lineal sobre un anillo de división aunque, como se señaló anteriormente, hay múltiples opciones de estructura lineal, como un torsor sobre Gal(K/k) (para n ≥ 3).
), mientras que las rotaciones en ejes paralelos al hiperplano son transformaciones proyectivas propias, y representan las n dimensiones restantes.
En cuanto a las transformaciones de Möbius, el grupo PGL (2, K) se puede interpretar como transformaciones lineales fraccionarias con coeficientes en K. Los puntos en la recta proyectiva sobre K corresponden a pares de K2, siendo dos pares equivalentes cuando son proporcionales.
Cuando la segunda coordenada es distinta de cero, un punto se puede representar mediante [z, 1].
Los grupos lineales especiales proyectivos PSL (n, Fq) para un cuerpo finito Fq a menudo se escriben como PSL (n, q ) o Ln (q).
Estos isomorfismos excepcionales pueden entenderse como derivados del acción en la recta proyectiva.
Los grupos lineales especiales SL (n, q) son así cuasisimples: extensiones centrales perfectas de un grupo simple (a menos que n = 2 y q = 2 o 3).
[3] Galois los construyó como transformadas lineales fraccionarias y observó que eran simples excepto si p era 2 o 3; afirmación contenida en su última carta a Chevalier.
Los grupos PSL (n, q) (general n, campo finito general) fueron luego construidos en el texto clásico de 1870 por Camille Jordan, Traité des substitutions et des équations algébriques.
[nota 4] Además de los isomorfismos hay otros isomorfismos excepcionales entre grupos lineales especiales proyectivos y grupos alternos (estos grupos son todos simples, ya que el grupo alterno de 5 o más letras es simple): El isomorfismo L2 (9) ≅ A6 permite ver el automorfismo externo exótico de A6 en términos de automorfismo y operaciones matriciales.
[3] Algunas de las aplicaciones anteriores se pueden ver directamente en términos de la acción de PSL y PGL sobre la recta proyectiva asociada: PGL(n, q) actúa sobre el espacio proyectivo Pn−1(q), que tiene (qn − 1)/(q- 1) puntos, lo que produce una aplicación del grupo lineal proyectivo al grupo simétrico en (qn − 1)/(q- 1) puntos.
Para comprender estas aplicaciones, es útil recordar estos hechos: Por lo tanto, la imagen es un subgrupo 3 transitivo de orden conocido, lo que permite su identificación.
De hecho, para PSL (2, p) actúa de manera no trivial en p puntos si y solo si p = 2, 3, 5, 7 u 11; para 2 y 3 el grupo no es simple, mientras que para 5, 7 y 11, el grupo es simple; además, no actúa de manera no trivial en menos que p puntos.
[nota 5] Esto fue observado por primera vez por Évariste Galois en su última carta a Chevalier en 1832.
En este caso (el biplano de Paley, obtenido del dígrafo de Paley de orden 11), los puntos son la línea afín (el campo finito) F11, donde la primera línea se define como los cinco residuos cuadráticos distintos de cero (puntos que son cuadrados: 1, 3, 4, 5, 9), y las otras líneas son sus traslaciones afines (agregando una constante a todos los puntos).
Los grupos PSL (2, Z/nZ) surgen al estudiar el grupo modular, PSL (2, Z), como cocientes reduciendo todos los elementos al módulo n; los núcleos se denominan subgrupos de congruencia principal.
El subgrupo puede expresarse como una transformación lineal fraccionaria, o representarse (de forma no exclusiva) por matrices, como: Nótese que la fila superior es la identidad y los dos 3-ciclos, que conservan la orientación, formando un subgrupo en PSL (2, Z), mientras que la fila inferior son los tres 2-ciclos, y están en PGL (2, Z) y PSL (2, Z [i]), pero no en PSL (2, Z) , por lo tanto realizado como matrices con determinante -1 y coeficientes enteros, o como matrices con determinante 1 y coeficientes enteros gaussianos.
Esto se asigna a las simetrías de {0, 1, ∞} ⊂ P1(n) bajo el módulo de reducción n. En particular, para n = 2, este subgrupo se asigna isomórficamente a PGL (2, Z/2 Z) = PSL (2, Z/2 Z) ≅ S3,[nota 7] y, por lo tanto, proporciona una división
Para PGL, en los reales, la fibra es R * ≅ {± 1}, por lo que hasta la homotopía, GL → PGL es un espacio de cobertura doble, y todos los grupos de homotopía superiores coinciden.
Por lo tanto, PGL (0, K) es el grupo trivial, que consiste en la aplicación vacía única del conjunto vacío sobre sí mismo.
Además, la acción de los escalares en un espacio de dimensión 0 es trivial, por lo que la aplicación K* → GL (0, K) es trivial, más que lo es una inclusión en dimensiones superiores.
Por lo tanto, PGL (1, K) es el grupo trivial, que consiste en la aplicación única de un conjunto unitario sobre sí mismo.
Además, el grupo lineal general de un espacio unidimensional son exactamente los escalares, por lo que la aplicación
Para n = 2, PGL (2, K) no es trivial, pero es inusual porque es 3-transitivo, a diferencia de las dimensiones superiores cuando son solo 2-transitivas.
