Simetría icosaédrica
Tanto el dodecaedro regular (dual del icosaedro) como el triacontaedro rómbico tienen el mismo conjunto de simetrías.
La primera presentación fue realizada por William Rowan Hamilton en 1856, en su artículo sobre cálculo icosiano.
[2] Debe tenerse en cuenta que son posibles otras presentaciones, por ejemplo, como un grupo alternante (para I).
El grupo Ih es isomorfo a I×Z2, o A5 ×Z2, con inversión en el centro correspondiente al elemento (identidad, -1), donde Z2 se escribe multiplicativamente.
Ih actúa sobre el compuesto de cinco cubos y el compuesto de cinco octaedros, pero −1 actúa como identidad (ya que los cubos y los octaedros son centralmente simétricos).
Es útil describir explícitamente cómo se ve el isomorfismo entre I y A5.
En la siguiente tabla, las permutaciones Pi y iX actúan sobre 5 y 12 elementos respectivamente, mientras que las matrices de rotación Mi son los elementos de I.
Los siguientes grupos tienen todos el orden 120, pero no son isomorfos: Corresponden a las siguientes sucesiones exactas cortas (la última de las cuales no se divide) y productos Expresado mediante palabras, Téngase en cuenta que
tiene una representación tridimensional irreducible excepcional(como el grupo de rotación icosaédrico), pero
El grupo [5,3] + () de orden 60 se genera mediante dos rotaciones cualesquiera S0,1, S1,2, S0,2.
El dominio fundamental para el grupo de rotación icosaédrico y el grupo icosaédrico completo están dados por: En el hexaquisicosaedro una cara completa es un dominio fundamental.
Para la fase material intermedia denominada cristal líquido, H. Kleinert y K. Maki[3] propusieron la existencia de simetría icosaédrica, y su estructura se analizó por primera vez en detalle en ese documento.
En el aluminio, la estructura icosaédrica se descubrió experimentalmente tres años después por Dan Shechtman, lo que le valió el Premio Nobel en 2011.
Estos grupos forman una trinidad en el sentido definido por Vladímir Arnold, que proporciona un marco para las diversas relaciones.
