Grupo de Coxeter
En matemáticas, un grupo de Coxeter, llamado así por el matemático británico H. S. M. Coxeter (1907-2003), es un grupo abstracto que admite una descripción formal en términos de reflexiones (o espejos caleidoscópicos).
Sin embargo, no todos los grupos de Coxeter son finitos, y no todos pueden describirse en términos de simetrías y reflexiones euclídeas.
Estas estructuras algebraicas encuentran aplicaciones en muchas áreas de las matemáticas.
Entre las referencias estándar sobre el tema figuran los textos de (Humphreys, 1992) y (Davis, 2007).
significa que no se debe imponer ninguna relación de la forma
La matriz de Coxeter se puede codificar convenientemente mediante un diagrama de Coxeter, según las siguientes reglas: En particular, dos generadores conmutan si y solo si no están conectados por un lado.
Además, si un gráfico de Coxeter tiene dos o más componentes conectados, el grupo asociado es el producto directo de los grupos asociados a los componentes individuales.
, pero los elementos se modifican, siendo proporcionales al producto escalar de los generadores por pares.
La matriz de Schläfli es útil porque su autovalores determinan si el grupo de Coxeter es de "tipo finito" (todo positivo), "tipo afín" (todo no negativo, al menos un cero) o "tipo indefinido" (en caso contrario).
El tipo indefinido a veces se subdivide aún más, por ejemplo, en elementos hiperbólicos y otros grupos de Coxeter.
Sin embargo, existen múltiples definiciones no equivalentes para los grupos hiperbólicos de Coxeter.
, en el que los vértices desde 1 hasta n se colocan en una fila, con cada vértice conectado por un enlace no marcado con sus vecinos inmediatos, da lugar al grupo simétrico Sn+1; generadores correspondientes a las transposiciones (1 2), (2 3), ..., (n n+1).
Por supuesto, esto solo muestra que Sn+1 es un grupo cociente del grupo de Coxeter descrito por el gráfico, pero no es demasiado difícil verificar que la igualdad se mantiene.
, correspondiente a hiperplanos que se encuentran en un ángulo de
Geométricamente, esto corresponde al teorema de restricción cristalográfica, y al hecho de que los politopos excluidos no llenan el espacio ni recubren el plano; para
el dodecaedro (dualmente, icosaedro) no rellena el espacio; para
Téngase en cuenta que los poliedros conjugados tienen el mismo grupo de simetría.
Hay tres series de politopos regulares en todas las dimensiones.
El grupo de simetría del n-cubo y su dual, n-politopo de cruce, es Bn, y se conoce como grupo hiperoctaedral.
Los politopos regulares excepcionales en las dimensiones dos, tres y cuatro corresponden a otros grupos de Coxeter.
En cuatro dimensiones, hay tres politopos regulares especiales, el icositetracoron, el hecatonicosacoron y el hexacosicoron.
En cada caso, el grupo cociente es en sí mismo un grupo de Coxeter, y el gráfico de Coxeter del grupo de Coxeter afín se obtiene del gráfico de Coxeter del grupo cociente al agregar otro vértice y uno o dos bordes adicionales.
Entonces, el grupo de Coxeter afín es generado por las reflexiones ordinarias (lineales) sobre los hiperplanos perpendiculares a
, junto con una reflexión afín sobre una traslación del hiperplano perpendicular a
En este caso, se puede obtener un nicho del diagrama de Stiefel tomando la celda fundamental de Weyl y cortándola mediante una traslación del hiperplano perpendicular a
generalizando la paridad de una permutación para el grupo simétrico.
Un elemento v excede a un elemento u en el orden Bruhat si algún (o equivalente, cualquier) palabra reducida de v contiene una palabra reducida de u como una subcadena, donde se eliminan algunas letras (en cualquier posición).
En el orden débil, v ≥ u si alguna palabra reducida para v contiene una palabra reducida para u como segmento inicial.
El orden absoluto se define de manera análoga al orden débil, pero con un conjunto generador/alfabeto que consiste en todos los conjugados de los generadores Coxeter.
, se calculó en (Ihara y Yokonuma, 1965) para grupos de reflexión finitos y en (Yokonuma, 1965) para grupos de reflexión afines, con una relación más unificada dada en (Howlett, 1988).
