Notación de Coxeter

Coxeter permitió el uso de ceros como casos especiales para ajustarse a la familia An, como A3 = [3,3,3,3] = [34,0,0] = [34,0] = [33,1] = [32,2], como = = .

Los grupos de Coxeter formados por diagramas cíclicos se representan mediante paréntesis dentro de corchetes, como [(p,q,r)] = para el grupo triangular (p q r).

Los diagramas de bucle más complicados también se pueden expresar utilizando la notación con cuidado.

Nota: La simetría tetraédrica se puede escribir como , separando el gráfico con espacios para una mayor claridad, con los generadores 0,1,2 del grupo de Coxeter , produciendo generadores piritoédricos 0,12, una reflexión y rotación triple.

Johnson extiende el operador + para trabajar con un marcador de posición de nodos 1+, lo que elimina espejos, duplicando el tamaño del dominio fundamental y cortando el orden del grupo a la mitad.

[1]​ En general, esta operación solo se aplica a espejos individuales delimitados por ramas de orden par.

Esto se puede mostrar en un diagrama de Coxeter agregando un símbolo + sobre el nodo: = = .

Si los nodos están indexados, la mitad de los subgrupos se pueden etiquetar con nuevos espejos como compuestos.

Para los grupos Coxeter de rango 2, [3], el subgrupo triónico, [3⅄] es [ ], un solo espejo.

Son isomorfas al grupo cíclico abstracto Zn, de orden n=2pq.

Los grupos mitad, [2p+,2+,2q+]+, o el gráfico cíclico, [(2p+,2+,2q+,2+)], expresados por Conway son [Cp×Cq], orden pq, con un generador, como {0123}.

Si hay un factor común f, la rotación doble se puede escribir como 1⁄f[2pf+,2+,2qf+] (con mcd(p,' 'q)=1), generadores {0123,0132}, y orden 2pqf.

por [(3,3)[31,1,1,1]]= [3,3,4,3 ], con el diagrama que contiene la simetría de orden 24 del tetraedro regular, {3,3}.

Un superíndice asterisco * es efectivamente una operación inversa, creando "subgrupos radicales" eliminando espejos conectados de orden impar.

El superíndice + simplemente implica que se ignoran los reflejos alternativos del espejo, dejando el grupo de identidad en este caso más simple.

En el límite, bajando a una dimensión, se obtiene el grupo completo apeirogonal cuando el ángulo llega a cero, por lo que [∞], en abstracto, el grupo diedro infinito D∞, representa dos espejos paralelos y tiene un diagrama de Coxeter .

En el plano hiperbólico, hay un grupo completo apeirogonal [iπ/λ] y un subgrupo pseudogonal [iπ/λ]+, .

En general, las órdenes de rama vecinas al nodo + deben ser pares.

En este caso [2,2+] y [2+,2] representan dos subgrupos isomorfos que son geométricamente distintos.

En todas estas simetrías, los reflejos alternos se pueden eliminar produciendo los grupos rotacionales tetraédricos [3,3]+(), octaédricos [3,4]+ () e icosaédricos [3,5]+ () de orden 12, 24 y 60.

[[4,4]], como una duplicación del grupo [4,4], produce la misma simetría girada π/4 desde el conjunto original de espejos.

La p y la r solo deben suprimirse si ambas son 2, que es el caso real [q].

Cada nodo en el diagrama de Coxeter representa un espejo, por convención llamado ρi (y matriz Ri).

Otro generador compuesto, por convención como ζ (y matriz Z), representa la inversión, asignando un punto a su inversa.

Para el grupo de Coxeter 3D [p,q] (), este subgrupo es una rotorreflexión [2+,h+].

El grupo duoprismático puede duplicarse en orden, hasta 8p2, con una rotación de 2 veces entre los dos planos.

El grupo [[3,4,3]] extiende [3,4,3] por una rotación de multiplicidad 2, T, duplicando su orden a 2304.

[4+,4+] () (pgg) se genera mediante la rotación doble S0,2 y una reflexión deslizada (transrreflexión) V0,1,2.

El grupo [(4,4,2+)] () (cmm), se genera mediante la rotación doble S1,3 y la reflexión R2.

El grupo afín es [4,3,4] (), y puede estar dado por cuatro matrices de reflexión.