Rotaciones en el espacio euclídeo 4-dimensional

En matemáticas, el grupo de las rotaciones en cuatro dimensiones respecto a un punto fijo se denota SO(4).

Para evitar la multiplicidad cíclica de los giros, se supone que los ángulos de rotación están comprendidos en el segmento cerrado [0, π], salvo que el contexto lo mencione o lo indique claramente.

Para cada rotación R en 4 dimensiones (con el origen fijo), hay al menos un par de planos bidimensionales ortogonales A y B, cada uno de los cuales es invariante y cuya suma directa A ⊕ B abarca todo el espacio 4D.

Los ángulos de rotación desiguales α y β que satisfacen −π < α, β < π son casi[nb 2]​ determinados exclusivamente por R. Suponiendo que el 4-espacio está orientado, entonces las orientaciones de los 2-planos A y B se pueden elegir de dos maneras consistentes con esta orientación.

Sin embargo, no todos los planos a través de O son invariantes bajo rotaciones isoclínicas; solo los planos que ocupan una semirrecta y la semirrecta desplazada correspondiente son invariantes.

Ahora supóngase que solo se especifica el ángulo de rotación α.

Mientras α se encuentre entre 0 y Π, estas cuatro rotaciones serán distintas.

Por lo tanto, una vez que se ha seleccionado una orientación (es decir, un sistema OUXYZ de ejes que se denota universalmente como a la derecha), se puede determinar el carácter a la izquierda o a la derecha de una rotación isoclínica específica.

Esto implica que existe un producto directo S3L × S3R con subgrupos normales S3L y S3R.

Los dos grupos cocientes correspondientes son isomorfos al otro factor del producto directo, es decir, isomorfos a S3 (esta correspondencia no cubre SO(4) ni un subgrupo de SO(4), puesto que S3L y S3R no son disjuntos: la identidad I y la inversión central −I pertenecen tanto a S3L como a S3R).

AL y AR se determinan en conjunto hasta la inversión central, es decir, cuando tanto AL como AR se multiplican por la inversión central, su producto es A nuevamente.

SO(4) se identifica comúnmente con el grupo de orientación que conserva las aplicaciones lineales isométricas de un espacio vectorial 4D con un producto interno en los números reales sobre sí mismo.

Se calcula su matriz asociada M tiene rango uno y posee módulo unidad como un vector 16D si y solo si A es efectivamente una matriz de rotación 4D.

Los factores se determinan hasta la matriz identidad negativa de cuarto orden, es decir, la inversión central.

En lenguaje matricial, esto es Del mismo modo, una rotación isoclínica a la derecha se representa mediante la multiplicación a la derecha por un cuaternión unidad QR = p + qi + rj + sk, que se encuentra en forma de vector matriz En la sección anterior se muestra cómo una rotación 4D general se divide en factores isoclínicos a la izquierda y a la derecha.

En el lenguaje de los cuaterniones, la fórmula de Van Elfrinkhof se lee como o, en forma simbólica, Según el matemático alemán Felix Klein, esta fórmula ya la conocía Cayley en 1854.

Si un valor propio es real, debe ser ±1, ya que una rotación no modifica la magnitud de un vector.

Las rotaciones en el espacio 3D se hacen matemáticamente mucho más manejables mediante el uso de coordenadas esféricas.

En el espacio 4D, cada rotación sobre el origen tiene dos planos invariantes que son completamente ortogonales entre sí y que se intersecan en el origen, girando según dos ángulos independientes ξ1 y ξ2.

Para θ fijo, describen círculos en la 2 esfera que son perpendiculares al eje z, y estos círculos pueden verse como trayectorias de un punto en la esfera.

Al igual que en el caso 3D, cada rotación en el espacio 4D tiene al menos dos planos axiales invariantes, que permanecen sin ser modificados por la rotación y son completamente ortogonales (es decir, se intersecan en un punto).

Estos toros no son los habituales que se encuentran en el espacio 3D.

Si bien aún son superficies 2D, están incrustados en la 3 esfera, que puede ser proyectada estereográficamente en todo el espacio 3D euclidiano, y estos toros se visualizan entonces como los habituales toros de revolución.

[4]​ En estas figuras, el punto inicial se toma como {0, π/4, 0}, es decir, en el toro de Clifford.

1, se muestran dos trayectorias de rotación simples en negro, mientras que las trayectorias isoclínicas a la izquierda y a la derecha se muestran en rojo y azul respectivamente.