Plano de rotación

En el espacio tridimensional es una alternativa a un eje de rotación, pero a diferencia del eje de este, se puede usar en otras dimensiones, como dos, cuatro o más dimensiones.Los planos de rotación no se usan mucho en dos y tres dimensiones, ya que en dos dimensiones solo hay un plano, por lo que la identificación del plano de rotación es trivial y rara vez se usa, mientras que en tres dimensiones el eje de rotación sirve para el mismo propósito y es un enfoque más establecido.[1]​ Para este artículo, todos los planos pasan a través del origen de coordenadas, es decir, contienen el vector cero.Está completamente especificado por dos vectores distintos de cero y no paralelos que se encuentran en el plano, es decir, por dos vectores cualesquiera a y b, de manera que donde ∧ es el producto exterior del álgebra exterior o álgebra geométrica (en tres dimensiones se puede usar el producto vectorial).Esta transformación del plano sobre sí mismo siempre es una rotación respecto al origen, a través de un ángulo que es el ángulo de rotación para el plano.El número máximo de planos hasta ocho dimensiones se muestra en esta tabla: Cuando una rotación tiene múltiples planos de rotación, siempre son ortogonales entre sí, con únicamente el origen en común.Por ejemplo, la matriz identidad negativa en cuatro dimensiones (la inversión central), describe una rotación en cuatro dimensiones en la que cada plano a través del origen es un plano de rotación a través de un ángulo Π, por lo que cualquier par de planos ortogonales genera la rotación.Pero, a diferencia del eje de rotación, el plano se generaliza en otras dimensiones, en particular las más altas.Por lo tanto, un eje de rotación no se puede utilizar en cuatro dimensiones.La rotación se especifica dando los dos planos y dos ángulos distintos de cero, α y β (si cualquiera de los ángulos es cero, la rotación es simple).Por ejemplo, una rotación de α en el plano xy y β en el plano zw viene dada por la matriz Un caso especial de la doble rotación es cuando los ángulos son iguales, es decir, si α = β ≠ 0.Por ejemplo, en una rotación isoclínica, todos los puntos que no son cero giran en el mismo ángulo, α.Si alguno de los ángulos es el mismo, entonces los planos no son únicos, como en cuatro dimensiones con una rotación isoclínica.[1]​ Los ejemplos dados anteriormente fueron elegidos para ser casos claros y simples de rotaciones, con planos generalmente paralelos a los ejes de coordenadas en tres y cuatro dimensiones.En todas las dimensiones, las rotaciones quedan completamente definidas por los planos de rotación y sus ángulos asociados, por lo que es útil poder determinarlas, o al menos encontrar formas de describirlas matemáticamente.De manera similar, se pueden usar vectores unitarios para simplificar los cálculos.Si x′ se refleja en otro espacio (n − 1)-dimensional distinto, descrito por un vector unitario n perpendicular a él, el resultado es Esta es una rotación simple en n dimensiones, a través del doble del ángulo entre los subespacios, que también es el ángulo entre los vectores m y n. Se puede verificar usando álgebra geométrica que esto es una rotación y que rota todos los vectores como se espera.La cantidad mn es un rotor, y nm es su inverso como Así se puede escribir la rotación.Como cualquiera de los vectores puede ser reemplazado por su negativo, el ángulo entre ellos siempre puede ser agudo, o como máximo Π/2.La rotación absrca dos veces el ángulo entre los vectores, hasta Π o media vuelta.Esto los convierte en una útil herramienta para definir planos de rotación.Esto puede generar un rotor a través de la función exponencial, que se puede usar para rotar un objeto.Las rotaciones más generales en cuatro o más dimensiones están asociadas con sumas de bivectores simples, uno para cada plano de rotación, calculados como se ha mostrado anteriormente.Las otras raíces están en pares conjugados complejos, exactamente Tales pares corresponden a los planos de rotación, los planos propios de la matriz, que pueden calcularse utilizando técnicas algebraicas.La forma de la ecuación característica está relacionada con los planos, lo que hace posible relacionar sus propiedades algebraicas como raíces repetidas con los bivectores, donde las magnitudes repetidas del bivector tienen interpretaciones geométricas particulares.