Bivector
También se utilizan en física, uniendo varias cantidades no relacionables de otra manera.
Gibbs utilizó los vectores para desempeñar el papel de los bivectores en tres dimensiones, y se sirvió de los bivectores para describir cantidades no relacionadas, un uso que a veces se ha copiado.
Esto en la práctica no es una restricción, ya que todas las aplicaciones útiles se extraen de tales álgebras.
Además, a menos que se indique lo contrario, todos los ejemplos poseen una métrica euclídea y, por lo tanto, una forma cuadrática definida-positiva asociada.
El bivector surge de la definición del producto geométrico sobre un espacio vectorial.
Para distinguirlos de los vectores, los bivectores se escriben aquí con mayúsculas en negrita, por ejemplo: aunque se utilizan otras convenciones, en particular cuando vectores y bivectores son elementos del álgebra geométrica.
Un bivector que se puede escribir como el producto exterior de dos vectores es simple.
El término bivector unidad se puede usar en otras dimensiones, pero solo se define de forma única (hasta el signo) en dos dimensiones y todos los bivectores son múltiplos de e12.
Los bivectores y los escalares forman juntos la subálgebra uniforme del álgebra geométrica, que es un isomorfismo con respecto a los números complejos.
Los números complejos generalmente se identifican con los vectores en coordenadas cartesianas bidimensionales, lo que significaría asociarlos con los elementos vectoriales del álgebra geométrica.
En primer lugar, como los números complejos, el producto de bivectores y por lo tanto, la subálgebras pares son conmutativas.
En segundo lugar, se puede escribir un bivector general como donde θ es un número real.
En tres dimensiones, consta de todos los elementos escalares y bivectores del álgebra geométrica, por lo que se puede escribir un elemento general, por ejemplo, a+A, donde a es la parte escalar y A es la parte bivector.
El cuaternión se corresponde estrechamente con la exponencial de la mitad del bivector Ωθ.
Es decir, los componentes del cuaternión corresponden a las partes escalares y bivectoriales de la siguiente expresión:
El bivector Ωθ genera una rotación a través de la aplicación exponencial.
El dual de Hodge proporciona un isomorfismo entre los vectores axiales y los bivectores, por lo que cada vector axial está asociado con un bivector y viceversa; es decir: donde ∗ indica el dual de Hodge.
Además, coinciden estrechamente con la intuición geométrica de varias maneras, como se ve en la siguiente sección.
Dados dos bivectores que no son cero B y C en tres dimensiones, siempre es posible encontrar un vector a que esté contenido en ambos, por lo que los bivectores se pueden definir como productos exteriores que implican a a: Esto se puede interpretar geométricamente como se ve en el diagrama: las dos áreas se suman para dar una tercera, con las tres áreas formando las caras de un prisma con a, b, c y b + c como aristas.
Esto corresponde a las dos formas de calcular el área utilizando la distributividad del producto exterior: Esta propiedad solo se verifica en tres dimensiones, ya que es la única dimensión donde debe existir un vector paralelo a ambos bivectores.
En cuatro dimensiones, los bivectores son generados por el producto exterior de los vectores en ℝ4, pero con una diferencia importante con respecto a ℝ3 y a ℝ2, dado que en cuatro dimensiones no todos los bivectores son simples.
Por ejemplo, hay bivectores como e12 + e34 que no pueden ser generados por el producto exterior de dos vectores.
Es útil elegir dos bivectores ortogonales para esto, y siempre es posible hacerlo.
Las rotaciones isoclínicas surgen cuando estas magnitudes son iguales, en cuyo caso la descomposición en dos bivectores simples no es única.
Para la cantidad general M, actúan como reductores de grado y elevando operadores diferenciales.
Como en cuatro dimensiones, siempre es posible encontrar bivectores ortogonales simples para esta suma.
Como en tres dimensiones, el polinomio característico de una matriz se puede resolver para encontrar sus valores propios.
En dimensiones impares, presenta al menos una raíz real (siendo el autovector el eje fijo de rotación), y en dimensiones pares no tiene raíces reales, por lo que todas o todas menos una de las raíces son pares complejos conjugados.
En particular, el registro de cada par es ± la magnitud, mientras que los vectores propios generados a partir de las raíces son paralelos y, por lo tanto, se pueden usar para generar el bivector.
Por ejemplo, dado un tercer bivector C (distinto de cero), el punto p se encuentra en la recta dada por C si y solo si Así que la condición para las rectas dadas por A, B y C sean colineales es que lo que en Cℓ3(ℝ) y ℝℙ2 se simplifica a donde los corchetes de ángulo denotan la parte escalar del producto geométrico.
