En física, el grupo de Lorentz
Es el grupo de isometría más grande posible que deja invariante el producto minkowskiano de dos vectores.
Matemáticamente es un subgrupo del grupo lineal
, es decir, el grupo de transformaciones lineales que deja invariante la métrica del espacio de Minkowski o grupo de isometría del espacio de Minkowski.
Matemáticamente está formado por cualquier matriz que satisfaga la relación:
O en forma matricial más compacta:
El grupo de Lorentz no es el conjunto más general de transformaciones que dejan invariantes las ecuaciones de la teoría general de la relatividad, ya que no incluye las traslaciones espacio temporales.
De hecho, el grupo de Lorentz es el subgrupo maximal del grupo de Poincaré tal que no incluye las traslaciones.
consta de todos los elementos de determinante unidad, que no incluyan ninguna inversión temporal o espacial.
El grupo de Lorentz propio es un subgrupo conexo, de hecho coincide con la componente conexa maximal que contiene al elemento neutro o identidad.
La inversión espacial es una transformación abstracta relacionada con la paridad física.
Matemáticamente una operación de inversión espacial pura tiene la forma:
Si los tres números son impares entonces se tiene una operación de inversión espacial según las tres direcciones espaciales denominada simetría P, importante desde el punto de vista de la teoría cuántica de campos.
La inversión temporal es una transformación abstracta relacionada con una de las operaciones de la simetría CPT.
Matemáticamente una operación de inversión temporal pura tiene la forma:
Su espacio recubridor es precisamente el grupo especial lineal complejo de dos dimensiones
a d − b c = 1
Para ver la relación entre el grupo de Lorentz y su grupo recubridor, consideremos un punto del espacio de Minkowski en forma de matriz hermítica:
Y entonces la acción del grupo
sobre el espacio de Minkowski puede escribirse como:
Y esa acción sobre matrices hermíticas es equivalente a la acción del grupo de Lorentz sobre el espacio-tiempo de Minkowski.
Un detalle importante es que tanto la matriz P como su negativa -P inducen la misma transformación de Lorentz.
en el grupo de Lorentz es dos a uno.
Una propiedad interesante del grupo
es que es semisimple lo cual permite construir sus representaciones de una manera peculiar simple, como suma directa de representaciones irreducibles.
Este hecho es muy importante en las aplicaciones físicas.
{\displaystyle \phi :{\mbox{SL}}(2,\mathbb {C} )\to {\mbox{SO}}^{+}(3,1,\mathbb {R} )}
dada por:[1] es una aplicación 2-a-1 es un morfismo continuo de grupos de Lie, y se denomina aplicación espinorial y tiene un papel destacado en la construcción de campos espinoriales.
Puede demostrarse que la imagen bajo la aplicación espinorial del subgrupo
es el grupo de rotaciones, es decir,