En matemáticas, el grupo ortogonal generalizado,
es el grupo de Lie de todas las transformaciones lineales de un espacio vectorial n-dimensional real que deja invariante una forma bilineal simétrica y no-degenerada, de signatura
El nombre responde a que generaliza al grupo ortogonal que es un caso particular.
El grupo ortogonal especial generalizado o indefinido,
formado por todos los elementos con determinante igual a la unidad.
A diferencia del caso definido,
no es conexo, teniendo dos componentes.
Además tiene subgrupos de índice finito adicionales, a saber, el
, que tiene 2 componentes – ver sección de Topología para definiciones y una discusión de estos hechos.
La signatura de la forma determina el grupo, salvo isomorfismos, intercambiando el papel de
, lo cual equivale a reemplaza la métrica por su forma negativa, conlleva el mismo grupo.
se define para espacios vectoriales sobre los reales.
Para espacios vectoriales complejos, todos los grupos
{\displaystyle {\text{O}}(p,q,\mathbb {C} )}
son isomorfos al habitual grupo ortogonal
cambia la signatura de la forma.
Esto no debe confundirse con el grupo unitario indefinido
que conserva una forma sesquilineal de signatura
se denomina el grupo ortogonal escindido.