En matemáticas, una forma sesquilineal es una generalización de una forma bilineal que, a su vez, es una generalización del concepto del producto escalar en un espacio euclídeo.
Un caso arquetípico especial es una forma sesquilineal en un espacio vectorial complejo V.
Este caso surge naturalmente en las aplicaciones de la física matemática.
Otro caso importante permite que los escalares provengan de cualquier cuerpo y el giro esté generado por un automorfismo.
Las formas hermíticas se ven comúnmente en física, como el producto interno en un espacio de Hilbert complejo.
En tales casos, la forma hermítica estándar en Cn viene dada por donde
No hay ninguna razón particular para restringir la definición a los números complejos, y de hecho, se puede definir para anillos arbitrarios con un antiautomorfismo asociado, entendido informalmente como un concepto generalizado de "conjugación compleja" para el anillo.
Las convenciones difieren en cuanto a qué argumento debe ser lineal.
En el caso conmutativo, se toma el primer argumento como lineal, como es común en la literatura matemática, excepto en la sección dedicada a las formas sesquilineales en espacios vectoriales complejos.
Esta es la convención utilizada principalmente por los físicos,[1] que tiene su origen en la notación bra-ket de la mecánica cuántica, ideada por Paul Dirac.
También es coherente con la definición del producto habitual (euclídeo) de
En el entorno no conmutativo más general, con los módulos a derechas se toma el segundo argumento como lineal, y con los módulos a izquierdas se toma el primer argumento como lineal.
Por la propiedad universal del producto tensorial, estos están en correspondencia uno a uno con las aplicaciones lineales complejas Para un
es un espacio vectorial complejo de dimensión finita, entonces, en relación con cualquier base
tal que Cada forma compleja sesgada-hermítica se puede escribir como la unidad imaginaria
La representación matricial de una forma compleja sesgada-hermítica es una matriz antihermítica.
Esta sección se aplica sin cambios cuando el anillo de división K es conmutativo.
En este caso, también se aplica una terminología más específica: el anillo de división es un cuerpo, el antiautomorfismo también es un automorfismo y el módulo a derechas es un espacio vectorial.
Una forma sesquilineal σ sobre un K-módulo a derechas M es una aplicación aditiva φ : M × M → K con un antiautomorfismo σ asociado de un anillo de división K tal que, para todos los x, y en M y todos los α, β en K, El antiautomorfismo asociado σ para cualquier forma sesquilineal distinta de cero φ está determinado únicamente por φ.
Dada una forma sesquilineal φ sobre un módulo M y un subespacio (submódulo) W de M, el complemento ortogonal de W con respecto a φ es De manera similar, x ∈ M es ortogonal a y ∈ M con respecto a φ, escrito x ⊥φ y (o simplemente x ⊥ y si φ se puede inferir del contexto), cuando φ(x, y)= 0.
Esta relación no tiene por qué ser simétrica, es decir, x ⊥ y no implica que y ⊥ x (pero véase Reflexividad a continuación).
Una forma sesquilineal φ es reflexiva si, para todo x, y en M,
Es decir, una forma sesquilineal es reflexiva precisamente cuando la relación de ortogonalidad derivada es simétrica.
Una forma σ-sesquilineal φ se llama (σ, ε)-hermítica si existe ε en K de modo que, para todos los x, y en M, Si ε= 1, la forma se llama σ-hermítica, y si ε= −1, se llama σ-anti-hermítica (cuando se sobreentiende σ, simplemente "hermítica" o "antihermítica", respectivamente).
Para una forma (σ, ε)-hermítica distinta de cero, se deduce que para todos los α en K, También se deduce que φ(x, x) es un punto fijo de la aplicación α ↦ σ(α)ε.
[2][3][4][5] En el caso especial de que σ sea la función identidad (es decir, σ= id), K es conmutativa, φ es una forma bilineal y ε2= 1.
[6] Sea V el espacio vectorial tridimensional sobre el cuerpo finito F= GF(q2), donde q es una potencia prima.
En una geometría proyectiva G, una permutación δ de los subespacios que invierte la inclusión, es decir se llama correlación.
Un resultado de Birkhoff y von Neumann (1936)[7] demuestra que las correlaciones de las geometrías proyectivas desarguesianas corresponden a las formas sesquilineales no degeneradas en el espacio vectorial subyacente.
Un antiautomorfismo σ : R → R también puede verse como un isomorfismo R → Rop, donde Rop es el anillo opuesto de R, que tiene el mismo conjunto subyacente y la misma suma, pero cuya operación de multiplicación (∗) está definida por a ∗ b= ba, donde el producto a la derecha es el producto en R. De esto se deduce que un módulo R derecho (izquierdo) V se puede convertir en un módulo Rop izquierdo (derecho), Vo.