En matemáticas, más específicamente en álgebra abstracta, un *-álgebra (o álgebra involutiva) es una estructura matemática que consta de dos anillos involutivos
tiene la estructura de un álgebra asociativa sobre
Las álgebras involutivas generalizan la idea de la conjugación en un sistema numérico, por ejemplo los números complejos y conjugación compleja, matrices sobre los números complejos y la conjugada traspuesta, y operadores lineales sobre un espacio de Hilbert y el Operador adjunto.
Aun así, puede pasar que una álgebra no admite ninguna involución en absoluto.
, el cual es un antiautomorphism y una involución.
De una forma más precisa, dados
x , y ∈
se cumplen las condiciones[1] Esto también puede ser llamado como anillo involutivo o anillo con involución.
Note que si el anillo tiene unidad multiplicativa, digamos
Elementos tales que
son llamados auto-adjuntos.
[2] También, es posible definir *-versiones de objetos algebraicos, como ideales y subanillos, con el requisito de ser *-invariante, por ejemplo si
es un *-anillo, con una involución * que es una álgebra asociativa sobre un *-anillo conmutativo
A menudo el anillo
corresponde a los números complejos (con
Sigue de los axiomas que * en
( λ x + μ y
x , y ∈
{\displaystyle x,y\in A\,\,{\text{ y }}\,\,\lambda ,\mu \in R.}
es un homomorfismo de *-álgeras que es compatible con las involuciones de
{\displaystyle \varphi (x^{*_{A}})=\varphi (x)^{*_{B}}}
son las involuciones de
[2] No toda álgebra admite una involución (no trivial).
Considerando las matrices 2×2 sobre los números complejos
,podemos tomar la siguiente subalgebra:
Cualquier antiautomorfismo no trivial
para cualquier número complejo
Luego podemos ver que este antiautomorfismo falla en ser idempotente (esto es,
de este modo concluimos que
no admite involución alguna.