En matemáticas, los elementos conjugados de un elemento algebraico x en un cuerpo K son las raíces de su polinomio mínimo en K, en una extensión L de K donde este polinomio es dividido (es decir, se puede expresar como un producto de monomios).
De manera más general, las raíces primitivas n-ésimas de la unidad en ℂ tienen un polinomio mínimo en ℚ, el n-ésimo polinomio ciclotómico, y son conjugadas en ℚ.
El punto 1 se puede deducir del siguiente lema (utilizado también en otra parte de la prueba del teorema de las unidades de Dirichlet):[5][6] para cualquier entero n y cualquier real C, existe solo un número finito de enteros algebraicos α tales que el grado (del polinomio mínimo) de α es menor o igual que n y que |α| ≤ C. Existen varios refinamientos del punto 1 proporcionando, según el grado de α, un aumento de |α| menos restrictivo pero suficiente para que α sea la raíz de la unidad.
[3] Supóngase que f(x) es un polinomio separable e irreducible en K[X], y que existe una extensión M/K y un polinomio g en M[X] de modo que g divide f en M[X].
Si se denomina L al cuerpo de descomposición de f en K, L/K es galoisiano y L[X]/K[X] es isomorfo a L/K.