Polinomio mínimo (teoría de cuerpos)

Se impone la unicidad al elegir este polinomio unitario, es decir, se establece la condición de que el coeficiente del término de mayor grado es igual a 1.

Se dice que una extensión algebraica de K es separable si todos sus elementos lo son.

Según establece el teorema del elemento primitivo, las extensiones separables tienen propiedades importantes, como: En todo este apartado, se supone que L es una extensión finita de K; y para cualquier elemento m de L, se denomina φm al endomorfismo sobre el K-espacio vectorial L que asocia x a mx.

Por definición, es un elemento de K, igual al coeficiente constante del polinomio característico de m incluido su posible signo (es decir, multiplicado por (-1)n).

Cuando φm se define en la extensión K[m], su polinomio mínimo es el polinomio mínimo de m y por lo tanto: Dada la expresión del polinomio característico en función del polinomio mínimo, se tiene que: La traza de m relativa a la extensión L de K a menudo se denota como TrL/K(m).

Desempeña un papel importante en la teoría de números algebraicos, por ejemplo, para definir el discriminante.

[3]​ En la práctica, este teorema se traduce de la siguiente manera: Si x1, x2,…, xn–1 son algebraicamente independientes, y si xn es tal que existe un polinomio Q con coeficientes en R verificando que Q(x1,…, xn–1, xn) = 0, entonces existe un cierto polinomio P con coeficientes en R, único excepto respecto a la multiplicación por una unidad de R, cancelando (x1, x2,…, xn), y tal que cualquier otro polinomio con coeficientes en R cancelado en este punto es divisible por P en R[X].