, pues se verá que el polinomio es independiente de la elección de esta base) es el polinomio mónico
La demostración de que esto es cierto está en el apartado dedicado a la definición formal.
Las siguientes tres declaraciones son equivalentes: La multiplicidad de una raíz
En otras palabras, aumentar el exponente hasta
no es algebraicamente cerrado, entonces los polinomios mínimos y característicos no necesitan factorizarse solo de acuerdo con sus raíces (en
), en otras palabras, pueden tener como factores polinomios irreducibles de grado mayor que
se tienen equivalencias similares: Al igual que el polinomio característico, el polinomio mínimo no depende del cuerpo base, es decir, considerar la matriz como una con coeficientes en un cuerpo mayor no cambia el polinomio mínimo.
: extender el cuerpo base no introducirá ninguna nueva relación de este tipo (ni, por supuesto, eliminará las existentes).
múltiple del endomorfismo identidad, entonces su polinomio mínimo es
ya es el espacio completo; por otro lado su polinomio característico es
es el espacio de todos los polinomios sobre el cuerpo
es un dominio de ideales principales, por lo que cualquier ideal es generado por un solo polinomio, que es único salvo las unidades en
Es el polinomio mónico de menor grado en
al que llamaremos polinomio mínimo de
{\displaystyle {\text{ al que llamaremos polinomio mínimo de }}f.}
Por tanto, existen polinomios anuladores y podemos tomar, pues, uno que sea de grado mínimo.
Si lo dividimos por el coeficiente del término de grado máximo, sigue siendo anulador y ahora también es mónico.
Este polinomio, al que denotaremos por
, es nuestro candidato a polinomio mínimo.
es el polinomio anulador de grado mínimo, luego
Para ver la unicidad, supongamos que hubiera dos polinomios
Pero como son mónicos y tienen el mismo grado, necesariamente
posee una matriz diagonalizable si y solo si su polinomio mínimo se factoriza completamente sobre
El hecho de que solo haya un factor
, entonces será diagonalizable: su polinomio mínimo es un divisor de
y, por lo tanto, también se factoriza en distintos factores lineales.
En particular, se tiene que: Estos casos también se pueden probar directamente, pero el polinomio mínimo proporciona una perspectiva y una prueba unificadas.
Sea T el endomorfismo de R3 con matriz, sobre una base canónica, Tomando el primer vector de base canónica e1 y sus imágenes repetidas por T se obtiene de los cuales los tres primeros se ven fácilmente como linealmente independientes y, por lo tanto, abarcan todo R3.
El último entonces es necesariamente una combinación lineal de los tres primeros, de hecho así que: De hecho, este es también el polinomio mínimo μT y el polinomio característico χT: efectivamente μT,e1 divide a μT que divide a χT, y como el primero y el último son de grado 3 y todos son monicos, todos deben ser iguales.
Otra razón es que en general si algún polinomio en T anula un vector v, entonces también anula T⋅v (basta con aplicar T a la ecuación que dice que anula v), y por tanto por iteración anula todo el espacio generado por las imágenes iteradas por T de v; en el caso actual, se ve que para v = e1 ese espacio es todo R3, entonces μT,e1(T) = 0.