Base canónica
En álgebra lineal, la base canónica o base usual del espacio vectorial
vectores cuya única coordenada distinta de cero vale 1.
Es decir, consta en el siguiente orden de los vectores: Cuando el cuerpo base es
, se trata de una base ortonormal para el producto escalar usual.
{\displaystyle {\mathcal {B}}=\{{\textbf {i}},{\textbf {j}},{\textbf {k}}\}}
{\displaystyle \mathbf {v} =(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}}
se representa de forma única a través de una combinación lineal de los vectores básicos: Por ejemplo: El plano vectorial
se construyen ambos como el producto cartesiano de copias de la recta real: Por lo tanto, los vectores del plano se representan mediante dos componentes:
Si se dibujan los ejes cartesianos, entonces
En otras palabras, si se ponen
Exactamente lo mismo ocurre en el espacio, donde
{\displaystyle \mathbf {v} =(a,b,c)}
coinciden con las proyecciones ortogonales de
La base canónica además de generar el espacio vectorial, le induce su producto escalar usual, y por ende su norma euclídea, que mide la distancia de un vector al cero en línea recta, considerando a los vectores de la base usual como ortogonales y unitarios.
Como se toman de referencia en dichas definiciones, los vectores i , j y k forman una base ortonormal (son ortogonales y unitarios).
Sin embargo, esta propiedad no caracteriza a la base canónica.
Otra base ortonormal del espacio viene dada por: que incluso tiene la misma orientación que la usual.
No obstante, la base usual es la más sencilla posible con estas propiedades.
Esta misma construcción se generaliza a espacios de dimensión arbitraria.
Observando la figura, el sistema de coordenadas está formado por las rectas:
x (eje de abscisas)
{\displaystyle {\color {BlueViolet}{\mbox{x (eje de abscisas)}}}}
{\displaystyle {\color {Red}{\mbox{y (eje de ordenadas)}}}}
z (eje de cotas)
{\displaystyle {\color {PineGreen}{\mbox{z (eje de cotas)}}}}
Por lo tanto, se verifican las siguientes igualdades: Para cualquier anillo (unitario)
, se define el módulo libre
como el conjunto de todas las aplicaciones
representa a la delta de Kronecker, entonces la familia forma una base del módulo
Se recupera el concepto de base canónica cuando
