Orientación (espacio vectorial)
En matemáticas, la orientación es una noción geométrica que en dos dimensiones permite decir cuándo un giro se produce en sentido horario o antihorario, y en tres dimensiones si una figura es levógira o dextrógira.
En álgebra lineal, la noción de orientación tiene sentido en una dimensión finita arbitraria.
Por lo tanto, en tres dimensiones, es imposible superponer la mano izquierda de una figura humana con la mano derecha aplicando una sola rotación, pero es posible hacerlo reflejando la figura en un espejo.
Como resultado, en el Espacio euclídeo tridimensional, las dos orientaciones de bases posibles se denominan según la regla de la mano derecha e izquierda (o quiral a la derecha y quiral a la izquierda).
En el espacio euclídeo tridimensional, las bases a derecha generalmente se declaran como orientadas positivamente, pero la elección es arbitraria, ya que también se les puede asignar una orientación negativa.
Es un resultado estándar en álgebra lineal que existe una única aplicación lineal A: V → V que hace corresponder a b1 con b2.
Si V no es nulo, hay exactamente dos clases de equivalencia determinadas por esta relación.
Tendrán la misma u opuesta orientación según si la signatura de esta permutación es +1 o −1.
Esta aplicación se dice que conserva la orientación si su determinante es positivo.
[2] Por ejemplo, en R3 una rotación alrededor del eje cartesiano Z en un ángulo α conserva la orientación: mientras que una reflexión según el plano cartesiano XY no preserva la orientación: El concepto de orientación degenera en el caso de dimensión cero.
Si a todos los espacios vectoriales de dimensión cero se les asigna esta orientación, entonces, dado que todos los isomorfismos entre espacios vectoriales de dimensión cero conservan la base ordenada, también conservan la orientación.
Para obtener la declaración correcta del teorema fundamental del cálculo, el punto b debe estar orientado positivamente, mientras que el punto a debe estar orientado negativamente.
El espacio vectorial ΛnV (llamado potencia exterior superior) tiene, por lo tanto, la dimensión 1.
No hay una elección a priori de qué dirección en esta línea es positiva.
Cualquier aplicación lineal ω no nula en ΛnV determina una orientación de V al declarar que x está en el sentido positivo cuando ω(x)> 0.
Para conectarse con el punto de vista establecido para las bases, se dice que las bases orientadas positivamente son aquellas en las que ω devuelve un número positivo (ya que ω es una n-forma se puede evaluar en un conjunto ordenado de n vectores, dando un elemento de R).
El grupo lineal general GL (V) actúa libre y transitivamente en B (en un lenguaje más formal, B es un GL (V)-torsor).
Esto significa que como variedad, B es un homeomorfismo (no canónico) GL (V).
Téngase en cuenta que el grupo GL(V) no es conexo, sino que tiene dos componentes conectados según si el determinante de la transformación es positivo o negativo (excepto para GL0, que es el grupo trivial y, por lo tanto, tiene un único componente conectado; esto corresponde a la orientación canónica en un espacio vectorial de dimensión cero).
Estas órbitas son precisamente las clases de equivalencia mencionadas anteriormente.
Una elección específica de homeomorfismo entre B y GL(V) es equivalente a una elección de una base privilegiada y, por lo tanto, determina una orientación.
Los diversos objetos del álgebra geométrica poseen tres atributos o características: posición, orientación y magnitud.
De manera similar, un bivector en tres dimensiones tiene una posición dada por la familia de planos asociada (posiblemente especificada por una recta normal común a estos planos[5]), una orientación (a veces indicada por una flecha curva en el plano) que indica una elección del sentido de recorrido de su límite (su circulación), y una magnitud dada por el área del paralelogramo definido por sus dos vectores.
A cada uno de estos espacios vectoriales se le puede asignar una orientación.
Debido a ciertas restricciones topológicas, esto no siempre es posible.
